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## 如何求隐函数（implicit functions）的二阶导数？

$y+x\frac{dy}{dx}+2y\frac{dy}{dx}=0.$

$\frac{d^2y}{dx^2}=-\frac{\frac{dy}{dx}(x+2y)-y(1+2\frac{dy}{dx})}{(x+2y)^2}.$

$\frac{d^2y}{dx^2}= \frac{\frac{y}{x+2y}(x+2y)+y(1-2\frac{y}{x+2y})}{(x+2y)^2}=\frac{2y^2+2xy}{(x+2y)^3}$

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## 如何计算参数方程（parametric equation）确定的函数的二阶及高阶导数？

$\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{\psi”(t)\phi'(t)-\psi’t(t)\phi”(t)}{\phi’^3(t)}.$

$\frac{dy}{dx}=\frac{\psi'(t)}{\phi'(t)},$

\begin{align}\frac{d^2y}{dx^2}&=\frac{d}{dx}(\frac{dy}{dx})=\frac{d}{dt}(\frac{dy}{dx})\frac{dt}{dx}\\ &=\frac{d}{dt}(\frac{dy}{dx})\frac{1}{\frac{dt}{dx}}=\frac{d}{dt}(\frac{dy}{dx})\frac{1}{\phi'(t)} \end{align}

$\begin{cases} x=a\cos t\\ y=b\sin t \end{cases}$所确定的函数的二阶导数$$\frac{d^2y}{dx^2}$$。

$\frac{dy}{dx}=\frac{\psi'(t)}{\phi'(t)}=\frac{b\cos t}{-a\sin t}=-\frac{b}{a}\cot t.$

$\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d}{dx}(\frac{dy}{dx})=\frac{d}{dt}(\frac{dy}{dx})\frac{1}{\phi'(t)}=-\frac{b}{a}(-\csc^2t)\frac{1}{-a\sin t}=-\frac{b}{a^2}\csc^3t$

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## 如何应用对数求导法(logarithm differential) ？

$\frac{1}{y}y’=\frac{f(x)}{f'(x)},$

1，函数是幂指函数 $$y=h(x)^{g(x)}$$ 的情形。例如
$y=\sin x ^{\ln x}$

$\ln y=\ln(\sin x ^{\ln x})。$

$\ln y= \ln x \ln(\sin x).$

\begin{align*}\frac{1}{y}y’&=\frac{1}{x}\ln(\sin x)+\ln x \frac{\cos x}{\sin x}\\ &=\frac{\ln(\sin x)}{x}+\ln x\tan x \end{align*}.

\begin{align*} y’&=y\left(\frac{\ln(\sin x)}{x}+\ln x\tan x\right)\\ &=\sin x ^{\ln x}\left(\frac{\ln(\sin x)}{x}+\ln x\tan x\right) \end{align*}

2，函数混合了多重乘、除法及根式，例如
$y=\frac{\sqrt[3]{7x^2+1}\cdot \sqrt[5]{2x-3}}{\sqrt{x^2+5}\cdot \sqrt[4]{3x-2}}.$

$\ln y =\ln \left(\frac{\sqrt[3]{7x^2+1}\cdot \sqrt[5]{2x-3}}{\sqrt{x^2+5}\cdot \sqrt[4]{3x-2}}\right)$

$\ln y=\frac{1}{3}\ln(7x^2+1)+\frac{1}{5}\ln(2x-3)-\frac{1}{2}\ln(x^2+5)-\frac{1}{4}\ln(3x-2)$

$\frac{y’}{y}=\frac{1}{3}\frac{14x}{7x^2+1}+\frac{1}{5}\frac{2}{2x-3}-\frac{1}{2}\frac{2x}{x^2+5}-\frac{1}{4}\frac{3}{3x-2}$

$y’=\frac{\sqrt[3]{7x^2+1}\cdot \sqrt[5]{2x-3}}{\sqrt{x^2+5}\cdot \sqrt[4]{3x-2}}\left(\frac{1}{3}\frac{14x}{7x^2+1}+\frac{1}{5}\frac{2}{2x-3}-\frac{1}{2}\frac{2x}{x^2+5}-\frac{1}{4}\frac{3}{3x-2 }\right)$

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## 什么是Related Rates（相关变化率）？怎么求？

AP Calculus 里面，Related rates 这一部分考得比较多。大学里面的微积分课程，这一部分也经常是考察的重点。 很多同学不能理解这里面的概念，也不知道怎么把它转化成数学问题。 现在我就这一部分进行解答。

$2x \frac{dx}{dt}+2y\frac{dy}{dt}=0$

$8\cdot 5\pm6 \frac{dy}{dt}=0$

$\frac{dy}{dt}=\mp \frac{20}{3} .$

$2z\frac{dz}{dt}=2x\frac{dx}{dt}+2y\frac{dy}{dt}$

$2\cdot 130 \frac{dz}{dt}=2\cdot 120\cdot 60+2\cdot 50\cdot 25$

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## 幂指函数及其极限与导数

$F'(x)=G'(u) u'(x) = e^u \left(g'(x)\ln f(x)+\frac{g(x)f'(x)}{f(x)}\right)$

$F'(x)=G'(u) u'(x) = f(x)^{g(x)} \left(g'(x)\ln f(x)+\frac{g(x)f'(x)}{f(x)}\right)$

\begin{align} \left(f(x)^{g(x)}\right)’&=\left(e^{g(x)\ln f(x)}\right)’ \\ &= e^{g(x)\ln f(x)} (g(x)\ln f(x))’ \\ &= f(x)^{g(x)}\left(g'(x)\ln f(x)+\frac{g(x)f'(x)}{f(x)}\right) \end{align}

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## 用Stolz公式求极限

$$\lim_{n\to\infty}\frac{a_n-a_{n-1}}{b_n-b_{n-1}}$$存在（可以为无穷大），

$\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=\lim_{n\to\infty}\frac{a_n-a_{n-1}}{b_n-b_{n-1}}.$

（1）求极限
$\lim_{n\to\infty}\frac{a^n}{n}\quad (a>1)$
（2）设$$\lim_{n\to \infty}a_n=A$$，求极限
$\lim_{n\to\infty}\frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}$

（1）由定理可知
$\lim_{n\to\infty}\frac{a^n}{n}=\lim_{n\to\infty}\frac{a^n-a^{n-1}}{n-(n-1)}=\lim_{n\to\infty}(a^n-a^{n-1})=\lim_{n\to\infty}(a^n(1-\frac{1}{a})=\infty$

（2）设$$x_n=a_1+a_2+\cdots+a^n$$，那么
$\lim_{n\to\infty}\frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}=\lim_{n\to\infty}\frac{x_n}{n}=\lim_{n\to\infty}(x_n-x_{n-1})=\lim_{n\to\infty}a_n=A$

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## 怎么寻找函数的渐近线(Asymptotes)？

1. 如果 $$\lim_{x\to x_0}f(x)=\infty$$，则称直线 $$x=x_0$$ 是函数 $$f(X)$$ 的垂直渐近线（vertical asymptote），或者铅直渐近线；
2. 如果 $$\lim_{x\to \infty}f(x)=A$$ 或者 $$\lim_{x\to -\infty}f(x)=A$$，则称直线 $$y=A$$ 是函数 $$f(X)$$ 的水平渐近线（horizontal asymptote）。注意这里要分两个无穷大方向；
3. 如果 $$\lim_{x\to \infty}f(x)-ax-b=0$$ 或者 $$\lim_{x\to -\infty}f(x)-ax-b=0$$，则称直线 $$y=ax+b$$ 是函数 $$f(X)$$ 的斜渐近线（slant asymptote）。注意这里也要分两个无穷大方向。

1. 垂直渐近线：垂直渐近线只可能在函数不连续的点处出现。这是为什么？因为从连续函数的性质知道，闭区间的连续函数有界，所以如果是连续的话，它的每一点的极限都是有限的（我们可以选一个很小的包含这点的连续区间）。
找到不连续的点后，再在这点求极限。如果左右极限有一个趋于无穷大，那么这点处就有垂直渐近线。
2. 水平渐近线：确定垂直渐近线后，就开始寻找水平渐近线。分别令 $$x$$ 趋近于正、负无穷大，如果极限存在（不包括无穷大，无穷大是极限不存在的一种），那么就有水平渐近线；
3. 斜渐近线：如果一个方向有水平渐近线，就不会有斜渐近线。也就是说，一个方向有水平渐近线，就不用找斜渐近线了（为什么？）。 如果没有水平渐近线，就来确定有没有斜渐近线。
找斜渐近线的方式为： 先求极限 $$\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x}$$，如果极限存在，值为 $$a$$，则可确定有斜渐近线。接着，求极限 $$\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x}-ax$$，如果极限为 $$b$$，则斜渐近线的方程为 $$y=ax+b$$
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## 怎么样求递推形式的极限？

$0< x_0 <1, x_{n+1}=x_n(2-x_n),$

$A=A(2-A),$

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## 极限（limits）求法总结

1. 首先, 运用极限的运算法则(四则运算, 连续函数的极限, 复合函数的极限), 确定极限是不是未定式极限；
2. 两种基本的未定式极限是 $$\displaystyle\frac{0}{0}$$ 型和 $$\displaystyle\frac{\infty}{\infty}$$ , 这两种情形一般可以用洛必达法则来求. 有一些特殊的情形, 我们接下来讲；
3. 其它未定式极限($$\displaystyle0\cdot\infty, \infty-\infty, 1^{\infty}, 0^0, \infty^0$$),要先化成上面的两种基本情形来求，然后用洛必达法则或者其它方法来求。

1. 对未定式极限，$$\frac{0}{0}$$ 型或者 $$\frac{\infty}{\infty}$$，最有效也是最基本的方法是洛必达法则。也就是在求极限的时候，先分子分母分别求导，再求极限。例如
$\lim_{x\to 0}\frac{\sin x-x}{x^3}=\lim_{x\to0}\frac{\cos x-1}{3x^2}=\lim_{x\to0}\frac{-\sin x}{6x}=\lim_{x\to0}\frac{-\cos x}{6}=-\frac{1}{6}$
2. $$\displaystyle\frac{0}{0}$$ 型， $$x\to a$$ ，且分子分母都是多项式，则分子分母可以约去无穷小因子 $$x-a$$。例如 $\displaystyle\lim_{x\to3}\frac{x^2-5x+6}{x^2-8x+15}=\lim_{x\to3}\frac{(x-3)(x-2)}{(x-3)(x-5)}=\lim_{x\to3}\frac{(x-2)}{(x-5)}=-\frac{1}{2}.$
3. $$\displaystyle\frac{0}{0}$$ 型， $$x\to a$$ ，且分子或者分母有根式， 则先对根式有理化，然后用极限运算法则或者约去无穷小因子的方法来计算。例如
$\lim_{x\to 4}\frac{\sqrt{1+2x}-3}{\sqrt{x}-2}$
我们在分子分线都乘以 $$\sqrt{1+2x}+3$$ ，则分子就有理化了，再在分子分母同乘以因式 $$\sqrt{x}+2$$，则分母就有理化了，从而原极限变成
$\lim_{x\to 4}\frac{\sqrt{1+2x}-3}{\sqrt{x}-2}\cdot\frac{\sqrt{1+2x}+3}{\sqrt{1+2x}+3}\cdot\frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}+2}=\lim_{x\to 4}\frac{2(x-4)(\sqrt{x}+2)}{(x-4)(\sqrt{1+2x}+3)}=\frac{4}{3}$
4. $$\displaystyle\frac{0}{0}$$ 型， $$x\to 0$$ ，分子或分母有三角函数，则利用三角函数恒等式或其它变换，化成基本极限式 $$\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1$$ 相关的类型，利用这个极限来求。例如
$\lim_{x\to 0}\frac{\tan x-\sin x}{\sin^3x}=\lim_{x\to 0}\frac{\sin x/\cos x – \sin x}{\sin^3x}=\lim_{x\to 0}\frac{\sin x(1-\cos x)}{\cos x\sin^3x}=\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{\sin^2 x} \cdot \frac{1}{\cos x}$
而 $$1-\cos x=2\sin^2\frac{x}{2}$$，所以上述极限为
$\lim_{x\to 0}\frac{\tan x-\sin x}{\sin^3x}=\lim_{x\to 0}\frac{2\sin^2\frac{x}{2}}{\sin^2 x} \cdot \frac{1}{\cos x}=\lim_{x\to 0}\frac{\sin^2\frac{x}{2}}{(\frac{x}{2})^2}\frac{(2\frac{x}{2})^2}{\sin^2 x} \cdot \frac{1}{\cos x}=\frac{1}{2}$
5. $$\displaystyle\frac{\infty}{\infty}$$ 型，$$x\to\infty$$ （或者 $$n\to\infty$$），且分子分母都是 $$x$$ （或者 $$n$$）的多项式或者类似于多项式（根式里是多项式）时，分子分母同除以 $$x$$ 的最高阶幂。例如
$\lim_{x\to\infty}\frac{x^2-1}{2x^2-x-1}=\lim_{x\to\infty}\frac{1-\frac{1}{x^2}}{2-\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}}=\frac{1}{2},\qquad \lim_{x\to\infty}\frac{2x^2+5x-1}{x^3-7x}=\lim_{x\to\infty}\frac{\frac{2}{x}+\frac{5}{x^2}-\frac{1}{x^3}}{1-\frac{7}{x^2}}=0$
6. $$\infty-\infty$$ 型，如二者都是分式，则先通分，化成两种基本形式，再用洛必达法则或者其它方法求极限。例如
$\lim_{x\to0}\frac{1}{\sin x}-\frac{1}{\tan x}=\lim_{x\to0}\frac{\tan x-\sin x}{\sin x\tan x}$
再利用公式 $$\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1$$。此极限为 $$0$$ 。
7. $$\infty-\infty$$ 型，如果其中一个含有根式，则先有理化，再用其它方法求极限。例如
$\lim_{x\to\infty}(\sqrt{(x+a)(x+b)}-x)=\lim_{x\to\infty}\frac{(\sqrt{(x+a)(x+b)}-x)(\sqrt{(x+a)(x+b)}+x)}{\sqrt{(x+a)(x+b)}+x}=\lim_{x\to\infty}\frac{((x+a)(x+b)-x^2)}{\sqrt{(x+a)(x+b)}+x} = \frac{a+b}{2}$
最后一步是由分子分母同除以 $$x$$ 得到。
8. $$\displaystyle1^{\infty}$$ 型， 首先尝试能不能化成 $$(1+\alpha)^{\frac{1}{\alpha}}$$ 的复合式，然后利用已知极限 $$\lim_{n\to\infty}(1+\frac{1}{n})^{n}=e$$，这里 $$\alpha$$ 是一个无穷小量。例如
$\lim_{x\to\infty}\left(\frac{x+a}{x-a}\right)^x=\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{2a}{x-a}\right)^x=\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{2a}{x-a}\right)^{x-a+a}=\lim_{x\to\infty}\left(\left(1+\frac{2a}{x-a}\right)^{\frac{x-a}{2a}}\right)^{2a}\cdot\left(1+\frac{2a}{x-a}\right)^{-a}=e^{2a}$
9. $$\displaystyle 1^{\infty}$$ 型，$$0^0$$ 型， $$\infty^0$$ 型，先取对数， 再取 $$e$$ 底，化成基本的未定式极限 $$\frac{0}{0}, \frac{\infty}{\infty}$$，然后用洛必达法则或者其它方式求极限。例如
$\lim_{x\to0}(x+e^x)^{\frac{1}{x}}=\lim_{x\to0} e^{\frac{1}{x}\ln(x+e^x)}=e^{\lim_{x\to0}\frac{1}{x}\ln(x+e^x)}=2$
最后一步是对指数部分应用洛必达法则。
10. $$0\cdot\infty$$ 型，将其中一个乘式变成分母，从而化成两种基本形式的未定式；再利用其它方法求积分。例如
$\lim_{x\to\infty}x\ln(1+\frac{1}{x})=\lim_{x\to\infty}\frac{\ln(1+\frac{1}{x})}{\frac{1}{x}}=1$
11. 如果可以通过一个明显的放缩，且放缩后两者的极限都相等的话，就使用夹挤原理来求极限。例如
$\lim_{n\to\infty}n\left(\frac{1}{n^2+\pi}+\frac{1}{n^2+2\pi}+\cdots+\frac{1}{n^2+n\pi}\right)$
显然有
$n\frac{n}{n^2+n\pi}\leq n\left(\frac{1}{n^2+\pi}+\frac{1}{n^2+2\pi}+\cdots+\frac{1}{n^2+n\pi}\right)\leq n\frac{n}{n^2+\pi}$
不等号的左边和右边都有相同极限 $$1$$（只需要在分子分母除以 $$n^2$$ 即可），所以由夹挤原理，原极限为 $$1$$ 。
12. 分段函数在分段点处的极限一定要求左右极限，然后确定二者是否相等；
13. 幂指函数 $$\displaystyle(f(x))^{g(x)}$$的极限，如果是未定式极限， 一定要先化成 $$\displaystyle e^{g(x)\ln(f(x))}$$形式，然后运用复合函数的极限法则，将极限符号移到指数上去，对指数部分用未定义极限的求法求极限。也就是说
$\lim_{x\to a}(f(x))^{g(x)}=e^{\lim_{x\to a}g(x)\ln(f(x))}$