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如何求隐函数(implicit functions)的二阶导数?

我们知道,求隐函数的二阶导数,方法就是将隐函数方程的两边同时对 \(x\) 求导,在求导的过程中,将 \(y\) 看成 \(x\) 的函数,然后利用复合函数的求导法则,得到 \(\frac{dy}{dx}\) 的方程,解这个方程,就得到了 \(\frac{dy}{dx}\) 的表达式。

那么,问题是,对于隐函数的二阶导数,我们是不是还要这样求呢?其实不必了,因为我们求出来一阶导数,它有个具体的表达式,我们对这个表达式再对 \(x\) 求导就行了。如果这个表达里还有 \(y\),那么就将它看成中间变量或者看成 \(x\) 的函数,它对 \(x\) 的导数是已知的(我们求一阶导数的时候就得到它了)。然后将它的表达式代入到二阶导数的表达里面就可以了。

我们来看一个例子。

例:设 \(xy+y^2=2\) ,求 \(\frac{d^2y}{dx^2}\)。

解:我们先求一阶导数。对方程两边同时对 \(x\) 求导,我们得到

\[y+x\frac{dy}{dx}+2y\frac{dy}{dx}=0.\]

再对 \(x\) 求导,我们得到

\[\frac{d^2y}{dx^2}=-\frac{\frac{dy}{dx}(x+2y)-y(1+2\frac{dy}{dx})}{(x+2y)^2}.\]

将 \( \frac{dy}{dx}=-\frac{y}{x+2y} \) 代入,并化简,我们得到

\[\frac{d^2y}{dx^2}= \frac{\frac{y}{x+2y}(x+2y)+y(1-2\frac{y}{x+2y})}{(x+2y)^2}=\frac{2y^2+2xy}{(x+2y)^3}\]

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如何计算参数方程(parametric equation)确定的函数的二阶及高阶导数?

我们可以利用参数方程确定的函数的一阶导数公式及 Chain Rule 来导出参数方程确定的函数的二阶导数公式:

\[\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{\psi”(t)\phi'(t)-\psi’t(t)\phi”(t)}{\phi’^3(t)}.\]

其中曲线的参数方程为 \(x=\phi(t), y=\psi(t)\)。但是,实际上,这个公式既不好记,又不好用。其实,参数方程确定的函数的二阶导数及高阶导数有更好的更有效的求法。我们来说明这种方法。

因为参数方程的一阶导数为

\[\frac{dy}{dx}=\frac{\psi'(t)}{\phi'(t)},\]

所以我们看得出,一阶导数 \(\frac{dy}{dx}\)还是关于 \(t\) 的函数,我们直接关于 \(x\) 再求导是不方便的,但是我们可以利用复合函数的求导法则,将关于 \(x\) 的导数转化成关于 \(t\)  的导数。由复合函数的求导法则

\[\begin{align}\frac{d^2y}{dx^2}&=\frac{d}{dx}(\frac{dy}{dx})=\frac{d}{dt}(\frac{dy}{dx})\frac{dt}{dx}\\
&=\frac{d}{dt}(\frac{dy}{dx})\frac{1}{\frac{dt}{dx}}=\frac{d}{dt}(\frac{dy}{dx})\frac{1}{\phi'(t)}
\end{align}\]

这上面一大堆的东西可能你会看得眼花缭乱。那么我们用一种简单的方式来说吧。因为 \(\frac{dy}{dx}\)是关于 \(t\) 的函数,我们假设 \(F(t)=\frac{dy}{dx}\),那么二阶导数\(\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d}{dx}F(t)\),把 \(t\) 看成中间函数,那么 \(F(t)\) 关于\(x\) 的导数就是 \(\frac{d}{dx}F(t)=F'(t)\frac{dt}{dx}\),而 \(\frac{dt}{dx}=\frac{1}{\frac{dt}{dx}}=\frac{1}{\phi'(t)}\),从而 \(\frac{d}{dx}F(t)=F'(t)\frac{dt}{dx}=F'(t)\cdot \frac{1}{\phi'(t)}\)。

二阶以上的导数可以用相同的方法来求。我们用一个例子来说明这种方法。

例1, 求由参数方程
\[\begin{cases}
x=a\cos t\\
y=b\sin t
\end{cases}\]所确定的函数的二阶导数\(\frac{d^2y}{dx^2}\)。

解:我们先计算一阶导数
\[\frac{dy}{dx}=\frac{\psi'(t)}{\phi'(t)}=\frac{b\cos t}{-a\sin t}=-\frac{b}{a}\cot t.\]
所以,二阶导数为
\[\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d}{dx}(\frac{dy}{dx})=\frac{d}{dt}(\frac{dy}{dx})\frac{1}{\phi'(t)}=-\frac{b}{a}(-\csc^2t)\frac{1}{-a\sin t}=-\frac{b}{a^2}\csc^3t\]

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如何应用对数求导法(logarithm differential) ?

所谓的对数求导法,就是先对函数 \(y=f(x)\) 取对数 \(\ln y=ln f(x)\),然后应用函数求导法则,两边对 \(x\) 求导
\[\frac{1}{y}y’=\frac{f(x)}{f'(x)},\]
从而求出 \(y’\) 的方法。

这种方法主要应用于下列两种情况:

1,函数是幂指函数 \(y=h(x)^{g(x)}\) 的情形。例如
\[y=\sin x ^{\ln x}\]

两边取对数,我们得到
\[\ln y=\ln(\sin x ^{\ln x})。\]

根据对数的运算法则,上式等于
\[\ln y= \ln x \ln(\sin x).\]

两边对 \(x\) 求导,将 \(y\) 看成是 \(x\) 的函数,我们得到
\[\begin{align*}\frac{1}{y}y’&=\frac{1}{x}\ln(\sin x)+\ln x \frac{\cos x}{\sin x}\\
&=\frac{\ln(\sin x)}{x}+\ln x\tan x
\end{align*}.\]

所以
\[\begin{align*}
y’&=y\left(\frac{\ln(\sin x)}{x}+\ln x\tan x\right)\\
&=\sin x ^{\ln x}\left(\frac{\ln(\sin x)}{x}+\ln x\tan x\right)
\end{align*}\]

2,函数混合了多重乘、除法及根式,例如
\[y=\frac{\sqrt[3]{7x^2+1}\cdot \sqrt[5]{2x-3}}{\sqrt{x^2+5}\cdot \sqrt[4]{3x-2}}.\]
这样的函数,不管是用乘法规则(product rule)还是除法规则(quotient rule),都是非常头疼的事。但是用对数求导法则,就简单多了。因为对数函数有几个非常好用的运算法则,就是乘法变成加法,除法变成减法,指数可以提到对数符号前面来。

我们对上面的函数两边取对数,得到
\[\ln y =\ln \left(\frac{\sqrt[3]{7x^2+1}\cdot \sqrt[5]{2x-3}}{\sqrt{x^2+5}\cdot \sqrt[4]{3x-2}}\right)\]
因为根式可以写成指数的形式,例如 \(\sqrt[3]{7x^2+1}=(7x^2+1)^{\frac{1}{3}}\),所以根据对数的运算法则,上式变成
\[\ln y=\frac{1}{3}\ln(7x^2+1)+\frac{1}{5}\ln(2x-3)-\frac{1}{2}\ln(x^2+5)-\frac{1}{4}\ln(3x-2)\]

两边关于 \(x\) 求导,我们得到
\[\frac{y’}{y}=\frac{1}{3}\frac{14x}{7x^2+1}+\frac{1}{5}\frac{2}{2x-3}-\frac{1}{2}\frac{2x}{x^2+5}-\frac{1}{4}\frac{3}{3x-2}\]
两边同乘以 \(y\),然后将 \(y\) 的表达式代入,就得到了
\[y’=\frac{\sqrt[3]{7x^2+1}\cdot \sqrt[5]{2x-3}}{\sqrt{x^2+5}\cdot \sqrt[4]{3x-2}}\left(\frac{1}{3}\frac{14x}{7x^2+1}+\frac{1}{5}\frac{2}{2x-3}-\frac{1}{2}\frac{2x}{x^2+5}-\frac{1}{4}\frac{3}{3x-2
}\right)\]

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什么是Related Rates(相关变化率)?怎么求?

AP Calculus 里面,Related rates 这一部分考得比较多。大学里面的微积分课程,这一部分也经常是考察的重点。 很多同学不能理解这里面的概念,也不知道怎么把它转化成数学问题。 现在我就这一部分进行解答。

那什么是Related rates 呢? 举例来说吧。我们知道圆的面积 \(A=\pi r^2\),如果这个半径是根据时间变化的,那么很显然,面积也根据时间变化。变化率其实就是导数,如果我们知道半径的变化率(就是半径关于时间的导数) \(\frac{dr}{dt}\),那么在某个时刻,面积对于时间的变化率(导数)\(\frac{dA}{dt}\)也就知道了。

从数学的角度来看这个问题,其实就是复合函数的求导法则(Chain Rule)。半径可以看成是时间的函数 \(r=r(t)\),那么面积 \(A(t)=\pi r^2(t)\),由复合函数的求导法则 \(\frac{dA}{dt}=\frac{dA}{dr}\cdot\frac{dr}{dt}=2\pi r \frac{dr}{dt}\)。假如 \(r\) 每秒增加 \(1\) cm, 那么当半径为 \(2\) 的时候的面积的变化率为 \(2\pi \cdot 2\cdot 1=4\pi cm\)。

这种类型的问题,另一个难点是不知道怎么把实际问题转化成数学问题。这就是如何建立数学模型的问题。它的实际困难就是,很多同学并不知道其实变化率就相当于导数。但是从导数的定义就知道,导数就是变化率\(\frac{\Delta y}{\Delta x}\)的极限。当时间间隔足够短的时候,变化率就可以看成是导数。

我们来看两个例题,来说明如何求相关变化率。

例1:设\(x^2+y^2=25\)以及当\(x=4\) 的时候 \(\frac{dx}{dt}=5\), 求当 \(x=2\) 的时候 \(\frac{dy}{dt}\)的值。

解:两边关于 \(t\) 求导,我们得到

\[2x \frac{dx}{dt}+2y\frac{dy}{dt}=0 \]

当 \(x=4\) 的时候 , \(y=\pm 3\)

\[8\cdot 5\pm6 \frac{dy}{dt}=0 \]

所以

\[ \frac{dy}{dt}=\mp \frac{20}{3} .\]

例2:两辆汽车从同一点出发,其中一辆以 \(60\) 公里每小时向南行驶,另一辆车以每小时\(25\)公里向西行驶。问在两小时后,两辆车的距离的变化率是多少?

解:我们可以用图来说明

我们设AB 的长度为 \(x\), AC 的长度为 \(y\),BC 的长度为 \(z\),那么 \(z^2=x^2+y^2\),两小时后,\(x=120, y=50\),\(z=130\), 同时,由题设,\(\frac{dx}{dt}=60, \frac{dy}{dt}=25\),我们要求的是 \(\frac{dz}{dt}\),我们对方程 \(z^2=x^2+y^2\) 两边同时对 \(t\) 求导,我们得到

\[2z\frac{dz}{dt}=2x\frac{dx}{dt}+2y\frac{dy}{dt}\]

代入我们刚才得到的数值,我们有

\[2\cdot 130 \frac{dz}{dt}=2\cdot 120\cdot 60+2\cdot 50\cdot 25 \]

所以 \(\frac{dz}{dt}=\frac{16900}{260}=65\)公理/小时

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幂指函数及其极限与导数

幂指函数,看起来就是这样的函数 \(f(x)^{g(x)}\), 函数既像幂函数,又像指数函数,它的底和指数都是函数。它在高数里面出现的频率是比较高的,特别是求极限和求导数的时候。对于这样的函数,最常见的错误就是求导的时候,把它当成幂函数的复合函数,或者普通的指数函数的复合函数来求导。这类函数的极限也是这门课的一个难点,很多同学见到这类函数的极限往往不知所措。这篇文章就对这种函数的相关问题做一个详细的剖析。

幂指函数的定义域:同指数函数一样,幂指函数要求它的底是正数,否则,函数可能就没有意义。例如,当 \(x<0\) 时,函数 \(x^x\) 就没什么意义。所以对于幂指函数来说,\(f(x)>0\),再加上 \(g(x)\) 和 \(f(x)\) 的定义域,幂指函数的定义域是这三个数集的交集。严格来说,如果设 \(f(x)\) 的定义域为 \(u_1\),\(g(x)\) 的定义域为 \(u_2\),\(V=\{x\in R : f(x)>0\}\) ,则幂指函数 \((f(x)^{g(x)}\) 的定义域是 \(U=U_1\cap U_2 \cap V\)

幂指函数的复合规则: 幂指函数是复合函数吗?答案是它是复合函数。 但它的复合规则不是由指数函数与幂函数的复合,也不是幂函数与指数函数的复合。那它是由什么样的函数,通过什么样的规则复合而成的呢?

我们先来对它进行变形, 先对它取对数,再取 \(e\) 底,那么 \(f(x)^{g(x)}=e^{g(x)\ln f(x)}\)。这样,问题就简单多了,我们可以认为它是由指数函数 \(e^u\) 和函数 \(g(x)\ln f(x)\) 复合而成的函数。这就是幂指函数的复合规则。

有了它的复合规则以后,幂指函数的极限与导数就变得容易多了。

幂指函数的极限: 如果 \(\lim_{x\to a}f(x)=A, \lim_{x\to a}g(x)=B\),且 \(A,B\) 都是常数并且不同时为 \(0\), 则 \(\lim_{x\to a}f(x)^{g(x)}=A^B \)。这个可以用复合函数的极限运算法则得到。 因为 \(\lim_{x\to a}f(x)^{g(x)} = e^{\lim_{x\to a}g(x)\ln f(x)} = e^{B\ln A}= A^B\)。

如果极限 \(\lim_{x\to a}f(x)^{g(x)}\) 是未定式极限,就是它是 \(0^0, 1^{\infty}\) 型或者 \(\infty^0\) 型中的一种。这时候的通常做法是将极限 \(\lim_{x\to a}f(x)^{g(x)}\) 化成 \(e^{\lim_{x\to a}g(x)\ln f(x)}\) 的形式,接着将指数部分化成形式 \(\displaystyle\lim_{x\to a}\frac{\ln f(x)}{\frac{1}{g(x)}}\)。这时候,指数部分的极限就成了两类基本的未定式极限 \(\frac{0}{0}\) 型或者 \(\frac{\infty}{\infty}\) 型,然后用洛必达法则可以求出极限指数部分的极限了。

对于 \(1^{\infty}\) 型的极限,还可以通过将它变形,运用第二个重要极限来求得它的极限。

幂指函数的导数:在教材里,幂指函数的导数一般是用对数求导法来求,而对数求导法是通过隐函数求导法得到的。那么知道了幂指函数的复合规则后,我们完全可以使用我们所熟悉的复合函数求导法则来求它的导数。我们来看怎么做。

设 \(F(x)=f(x)^{g(x)}\), 那么因为 \(f(x)^{g(x)}=e^{g(x)\ln f(x)}\), 所以可以设 \(u=g(x)\ln f(x)\),从而 \(F(x)\) 是函数 \(G(u)=e^u\) 和函数 \(u=g(x)\ln f(x)\) 复合得到。从而由复合函数的求导公式
\[F'(x)=G'(u) u'(x) = e^u \left(g'(x)\ln f(x)+\frac{g(x)f'(x)}{f(x)}\right)\]

将 \(u\) 回代,就得到了
\[F'(x)=G'(u) u'(x) = f(x)^{g(x)} \left(g'(x)\ln f(x)+\frac{g(x)f'(x)}{f(x)}\right)\]

如果熟悉了,可以直接这么求
\[
\begin{align}
\left(f(x)^{g(x)}\right)’&=\left(e^{g(x)\ln f(x)}\right)’ \\
&= e^{g(x)\ln f(x)} (g(x)\ln f(x))’ \\
&= f(x)^{g(x)}\left(g'(x)\ln f(x)+\frac{g(x)f'(x)}{f(x)}\right)
\end{align}\]

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用Stolz公式求极限

在微积分这门课里,一般都不讲Stolz定理,但是因为这个定理应用广泛而且非常方便,我觉得有必要讲一讲这个定理。有些实分析课程里会有这个定理。
这个定理的形式很像函数极限的洛必达法则。这个定理有两个等价的形式,我们只叙述我们方便应用的这个形式。
定理: 设有数列\(\{b_n\}_{n=1}^{\infty}\)严格单调增,\(\lim_{n \to \infty}b_n=\infty\),并且极限
\(\lim_{n\to\infty}\frac{a_n-a_{n-1}}{b_n-b_{n-1}}\)存在(可以为无穷大),
那么就有
\[\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=\lim_{n\to\infty}\frac{a_n-a_{n-1}}{b_n-b_{n-1}}.\]

我们来看两个例子:
(1)求极限
\[\lim_{n\to\infty}\frac{a^n}{n}\quad (a>1)\]
(2)设\(\lim_{n\to \infty}a_n=A\),求极限
\[\lim_{n\to\infty}\frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}\]

这两个例子,分母都是\(n\),很显然是单调增加而且极限为无穷大,符合定理的条件。
(1)由定理可知
\[ \lim_{n\to\infty}\frac{a^n}{n}=\lim_{n\to\infty}\frac{a^n-a^{n-1}}{n-(n-1)}=\lim_{n\to\infty}(a^n-a^{n-1})=\lim_{n\to\infty}(a^n(1-\frac{1}{a})=\infty\]

(2)设\(x_n=a_1+a_2+\cdots+a^n\),那么
\[\lim_{n\to\infty}\frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}=\lim_{n\to\infty}\frac{x_n}{n}=\lim_{n\to\infty}(x_n-x_{n-1})=\lim_{n\to\infty}a_n=A\]

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怎么寻找函数的渐近线(Asymptotes)?

这个问题,对于大多数同学来讲,不是什么大的困难。毕竟,它的定义还是比较好理解,而且有了极限的基础以后,计算也不是什么难题。但有时候,有同学对于怎么寻找斜渐近线会有一些困难,不会求斜渐近线的表达式。

我们还是简单回顾一下三类渐近线的定义:

  1. 如果 \(\lim_{x\to x_0}f(x)=\infty\),则称直线 \(x=x_0\) 是函数 \(f(X)\) 的垂直渐近线(vertical asymptote),或者铅直渐近线;
  2. 如果 \(\lim_{x\to \infty}f(x)=A\) 或者 \(\lim_{x\to -\infty}f(x)=A\),则称直线 \(y=A\) 是函数 \(f(X)\) 的水平渐近线(horizontal asymptote)。注意这里要分两个无穷大方向;
  3. 如果 \(\lim_{x\to \infty}f(x)-ax-b=0\) 或者 \(\lim_{x\to -\infty}f(x)-ax-b=0\),则称直线 \(y=ax+b\) 是函数 \(f(X)\) 的斜渐近线(slant asymptote)。注意这里也要分两个无穷大方向。

我们在画函数的图形的时候,需要确定函数的渐近线。 那么现在我们来看一下怎么寻找函数的渐近线吧。

寻找渐近线的步骤是:先找垂直渐近线,再找水平渐近线,最后找斜渐近线。一个函数可能没有渐近线,也有可能三类渐近线都有。

  1. 垂直渐近线:垂直渐近线只可能在函数不连续的点处出现。这是为什么?因为从连续函数的性质知道,闭区间的连续函数有界,所以如果是连续的话,它的每一点的极限都是有限的(我们可以选一个很小的包含这点的连续区间)。
    找到不连续的点后,再在这点求极限。如果左右极限有一个趋于无穷大,那么这点处就有垂直渐近线。
  2. 水平渐近线:确定垂直渐近线后,就开始寻找水平渐近线。分别令 \(x\) 趋近于正、负无穷大,如果极限存在(不包括无穷大,无穷大是极限不存在的一种),那么就有水平渐近线;
  3. 斜渐近线:如果一个方向有水平渐近线,就不会有斜渐近线。也就是说,一个方向有水平渐近线,就不用找斜渐近线了(为什么?)。 如果没有水平渐近线,就来确定有没有斜渐近线。
    找斜渐近线的方式为: 先求极限 \(\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x}\),如果极限存在,值为 \(a\),则可确定有斜渐近线。接着,求极限 \(\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x}-ax\),如果极限为 \(b\),则斜渐近线的方程为 \(y=ax+b\)
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怎么样求递推形式的极限?

所谓递推式,就是形如\[x_{n+1}=f(x_n,x_{n-1},\cdots, x_0)\]的函数或序列。遇到这种形式的极限,很多同学就不知道从哪里下手求极限。

其实,要求得这种形式的极限并不难,难的在于,我们经常忘记了最重要的一步,那就是,证明极限是存在的。

我们来看一个例子:
例:设数列\(\{x_n\}\)满足:
\[ 0< x_0 <1, x_{n+1}=x_n(2-x_n),\]
求\(\lim_{n\to \infty}x_n\)。

这里我们看一下这种极限怎么求。假如我们知道这个序列是有极限的,那么,我们知道,\(n\to \infty\)时,\(x_{n+1}\)和\(x_{n}\)都有同样的极限,我们设这个极限为\(A\),那么我们只需要求一个关于\(A\)的一个代数方程,就得到了我们要求的极限。

但这里关键的一步是,我们怎么确定这个序列是有极限的。我们所学的内容里面,有两个极限存在的准则,对这种递推形式的极限,通常能用的是“单调有界数列必有极限”。所以我们要证两件事,一个是序列是单调的,另一个要证明序列是有界的。我们来看看完整的解答过程。

解:假定序列的极限是存在的,设此极限为\(A\),那么:\[\lim_{n\to\infty}x_{n+1}=A, \lim_{n\to\infty}x_{n}=A, \]

所以
\[A=A(2-A),\]

解此方程,可以得到 \(A^2=A\),那么\(A=1\) 或者 \(0\)。具体是 0 还是 1,我们要看我们的其余的证明过程。

现在我们证明这个序列的极限是存在的。因为\(0<x_0<1\),所以\(x_1=x_0(2-x_0)=2x_0-x_0^2\),配方,我们可以得到\(x_1=1-(1-x_0)^2\),所以 \(0<x_1<1\),所以序列是有界的。又因为 \(x_0<1\),所以 \(2-x_0>1\),所以 \(x_0(2-x_0)>x_0\)。我们用归纳法来证明,\(0<x_n<1\) 并且是单调增加的。

现在假设\(0<x_n<1\),那么,\(0<x_{n+1}=x_n(2-x_n)<1\),跟上述证明一样,\(x_{n+1}>x_n\),所以序列是单调增加的。

所以,\(\lim_{n\to\infty}x_n=1\)。(\(A=0\) 舍去,因为 \(x_n>0\))

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极限(limits)求法总结

在微积分(Calculus) 这一门课里,极限(limits)是一个最基本的概念,但是它的技巧也特别多, 所以极限的求法相对比较难,发展出多种多样的求极限方法. 有很多方法只是针对特定类型的极限有效. 现在我们看看微积分里都有哪些求极限的方法, 以及哪些类型的极限应用什么方法比较有效.

我们先来说一说求极限时的一般原则.

求极限的一般原则:

  1. 首先, 运用极限的运算法则(四则运算, 连续函数的极限, 复合函数的极限), 确定极限是不是未定式极限;
  2. 两种基本的未定式极限是 \(\displaystyle\frac{0}{0}\) 型和 \(\displaystyle\frac{\infty}{\infty}\) , 这两种情形一般可以用洛必达法则来求. 有一些特殊的情形, 我们接下来讲;
  3. 其它未定式极限(\(\displaystyle0\cdot\infty, \infty-\infty, 1^{\infty}, 0^0, \infty^0 \)),要先化成上面的两种基本情形来求,然后用洛必达法则或者其它方法来求。

各种类型的极限求法:

  1. 对未定式极限,\(\frac{0}{0}\) 型或者 \(\frac{\infty}{\infty}\),最有效也是最基本的方法是洛必达法则。也就是在求极限的时候,先分子分母分别求导,再求极限。例如
    \[\lim_{x\to 0}\frac{\sin x-x}{x^3}=\lim_{x\to0}\frac{\cos x-1}{3x^2}=\lim_{x\to0}\frac{-\sin x}{6x}=\lim_{x\to0}\frac{-\cos x}{6}=-\frac{1}{6}\]
  2. \(\displaystyle\frac{0}{0}\) 型, \(x\to a\) ,且分子分母都是多项式,则分子分母可以约去无穷小因子 \(x-a\)。例如 \[\displaystyle\lim_{x\to3}\frac{x^2-5x+6}{x^2-8x+15}=\lim_{x\to3}\frac{(x-3)(x-2)}{(x-3)(x-5)}=\lim_{x\to3}\frac{(x-2)}{(x-5)}=-\frac{1}{2}.\]
  3. \(\displaystyle\frac{0}{0}\) 型, \(x\to a\) ,且分子或者分母有根式, 则先对根式有理化,然后用极限运算法则或者约去无穷小因子的方法来计算。例如
    \[\lim_{x\to 4}\frac{\sqrt{1+2x}-3}{\sqrt{x}-2}\]
    我们在分子分线都乘以 \(\sqrt{1+2x}+3\) ,则分子就有理化了,再在分子分母同乘以因式 \(\sqrt{x}+2\),则分母就有理化了,从而原极限变成
    \[\lim_{x\to 4}\frac{\sqrt{1+2x}-3}{\sqrt{x}-2}\cdot\frac{\sqrt{1+2x}+3}{\sqrt{1+2x}+3}\cdot\frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}+2}=\lim_{x\to 4}\frac{2(x-4)(\sqrt{x}+2)}{(x-4)(\sqrt{1+2x}+3)}=\frac{4}{3}\]
  4. \(\displaystyle\frac{0}{0}\) 型, \(x\to 0\) ,分子或分母有三角函数,则利用三角函数恒等式或其它变换,化成基本极限式 \(\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1\) 相关的类型,利用这个极限来求。例如
    \[\lim_{x\to 0}\frac{\tan x-\sin x}{\sin^3x}=\lim_{x\to 0}\frac{\sin x/\cos x – \sin x}{\sin^3x}=\lim_{x\to 0}\frac{\sin x(1-\cos x)}{\cos x\sin^3x}=\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{\sin^2 x} \cdot \frac{1}{\cos x}\]
    而 \(1-\cos x=2\sin^2\frac{x}{2}\),所以上述极限为
    \[\lim_{x\to 0}\frac{\tan x-\sin x}{\sin^3x}=\lim_{x\to 0}\frac{2\sin^2\frac{x}{2}}{\sin^2 x} \cdot \frac{1}{\cos x}=\lim_{x\to 0}\frac{\sin^2\frac{x}{2}}{(\frac{x}{2})^2}\frac{(2\frac{x}{2})^2}{\sin^2 x} \cdot \frac{1}{\cos x}=\frac{1}{2}\]
  5. \(\displaystyle\frac{\infty}{\infty}\) 型,\(x\to\infty\) (或者 \(n\to\infty\)),且分子分母都是 \(x\) (或者 \(n\))的多项式或者类似于多项式(根式里是多项式)时,分子分母同除以 \(x\) 的最高阶幂。例如
    \[\lim_{x\to\infty}\frac{x^2-1}{2x^2-x-1}=\lim_{x\to\infty}\frac{1-\frac{1}{x^2}}{2-\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}}=\frac{1}{2},\qquad \lim_{x\to\infty}\frac{2x^2+5x-1}{x^3-7x}=\lim_{x\to\infty}\frac{\frac{2}{x}+\frac{5}{x^2}-\frac{1}{x^3}}{1-\frac{7}{x^2}}=0\]
  6. \(\infty-\infty\) 型,如二者都是分式,则先通分,化成两种基本形式,再用洛必达法则或者其它方法求极限。例如
    \[\lim_{x\to0}\frac{1}{\sin x}-\frac{1}{\tan x}=\lim_{x\to0}\frac{\tan x-\sin x}{\sin x\tan x}\]
    再利用公式 \(\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1\)。此极限为 \(0\) 。
  7. \(\infty-\infty\) 型,如果其中一个含有根式,则先有理化,再用其它方法求极限。例如
    \[\lim_{x\to\infty}(\sqrt{(x+a)(x+b)}-x)=\lim_{x\to\infty}\frac{(\sqrt{(x+a)(x+b)}-x)(\sqrt{(x+a)(x+b)}+x)}{\sqrt{(x+a)(x+b)}+x}=\lim_{x\to\infty}\frac{((x+a)(x+b)-x^2)}{\sqrt{(x+a)(x+b)}+x} = \frac{a+b}{2}\]
    最后一步是由分子分母同除以 \(x\) 得到。
  8. \(\displaystyle1^{\infty}\) 型, 首先尝试能不能化成 \((1+\alpha)^{\frac{1}{\alpha}}\) 的复合式,然后利用已知极限 \(\lim_{n\to\infty}(1+\frac{1}{n})^{n}=e\),这里 \(\alpha\) 是一个无穷小量。例如
    \[\lim_{x\to\infty}\left(\frac{x+a}{x-a}\right)^x=\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{2a}{x-a}\right)^x=\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{2a}{x-a}\right)^{x-a+a}=\lim_{x\to\infty}\left(\left(1+\frac{2a}{x-a}\right)^{\frac{x-a}{2a}}\right)^{2a}\cdot\left(1+\frac{2a}{x-a}\right)^{-a}=e^{2a}\]
  9. \(\displaystyle 1^{\infty}\) 型,\(0^0\) 型, \(\infty^0\) 型,先取对数, 再取 \(e\) 底,化成基本的未定式极限 \(\frac{0}{0}, \frac{\infty}{\infty}\),然后用洛必达法则或者其它方式求极限。例如
    \[\lim_{x\to0}(x+e^x)^{\frac{1}{x}}=\lim_{x\to0} e^{\frac{1}{x}\ln(x+e^x)}=e^{\lim_{x\to0}\frac{1}{x}\ln(x+e^x)}=2\]
    最后一步是对指数部分应用洛必达法则。
  10. \(0\cdot\infty\) 型,将其中一个乘式变成分母,从而化成两种基本形式的未定式;再利用其它方法求积分。例如
    \[\lim_{x\to\infty}x\ln(1+\frac{1}{x})=\lim_{x\to\infty}\frac{\ln(1+\frac{1}{x})}{\frac{1}{x}}=1\]
  11. 如果可以通过一个明显的放缩,且放缩后两者的极限都相等的话,就使用夹挤原理来求极限。例如
    \[\lim_{n\to\infty}n\left(\frac{1}{n^2+\pi}+\frac{1}{n^2+2\pi}+\cdots+\frac{1}{n^2+n\pi}\right)\]
    显然有
    \[n\frac{n}{n^2+n\pi}\leq n\left(\frac{1}{n^2+\pi}+\frac{1}{n^2+2\pi}+\cdots+\frac{1}{n^2+n\pi}\right)\leq n\frac{n}{n^2+\pi}\]
    不等号的左边和右边都有相同极限 \(1\)(只需要在分子分母除以 \(n^2\) 即可),所以由夹挤原理,原极限为 \(1\) 。
  12. 分段函数在分段点处的极限一定要求左右极限,然后确定二者是否相等;
  13. 幂指函数 \(\displaystyle(f(x))^{g(x)}\)的极限,如果是未定式极限, 一定要先化成 \(\displaystyle e^{g(x)\ln(f(x))}\)形式,然后运用复合函数的极限法则,将极限符号移到指数上去,对指数部分用未定义极限的求法求极限。也就是说
    \[\lim_{x\to a}(f(x))^{g(x)}=e^{\lim_{x\to a}g(x)\ln(f(x))}\]