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如何计算向量场的曲线积分(how to evaluate line integral of vector field)

一般来说,向量场的曲线积分

\[\int_L\vec{F}\cdot d\vec{r}\]的计算方法主要有三种:直接计算,格林公式(Green’s Theorem)和Stokes 公式(Stokes’ Theorem)。每种方法,针对不同的情形,有不同的处理方法。我们针对这些情形分别进行讲解。

1,直接计算法:我们根据曲线 \(L\) 的表达式的不同形式,将曲线积分化成定积分来计算。

  • 若曲线 \(L\) 是由参数方程 \(\vec{r}(t)=\{x(t),y(t),z(t)\}\) (三维)或者 \( \vec{r}(t)=\{x(t),y(t)\} \)(二维)给出,\(t\) 从 \(\alpha\) 到 \(\beta\),其中 \(t=\alpha\) 对应起点, \(t=\beta\) 对应终点,那么积分
    \[\int_L\vec{F}\cdot d\vec{r}=\int_{\alpha}^{\beta}\vec{F}\cdot\vec{r}'(t)dt,\]其中 \(x,y,z\) 都用 \(t\) 表示。这里要注意的是,这里不管 \(\alpha\) 和 \(\beta\) 谁大谁小,起点就是在下限,终点在上限,这一点跟对弧长的曲线积分不同。 例如 \(\vec{F}=\{z,y,-x\}=z\vec{i}+y\vec{j}-x\vec{k}\), \(L\) 由参数方程 \(\vec{r}(t)=\{t,\sin t, \cos t\}\), \(t\) 从 \(0\) 到 \(\pi\),那么积分\[\begin{align}\int_L\vec{F}\cdot d\vec{r}&=\int_0^{\pi}(\cos t, \sin t, -t)\cdot(1,\cos t,-\sin t)dt\\ &=\int_0^{\pi}(\cos t+\sin t\cos t+t\sin t)dt\end{align}.\]剩下的部分就是计算定积分了。
  • 若曲线是由一个函数 \(y=f(x)\), \(x\) 从 \(a\) 到 \(b\),那么积分 \[\int_L\vec{F}\cdot d\vec{r}=\int_{a}^{b}\vec{F}\cdot(1,f'(x))dx,\]

2,若 \(L\) 是平面曲线,则可以用格林公式(Green’s Theorem)来计算。

  • 若 \(L\) 是平面闭曲线,且在曲线内部 \(\vec{F}\) 有一阶连续偏导数(就是每个分量都有一阶连续偏导数),这种情况可以直接应用格林公式;
  • 若 \(L\) 是平面闭曲线,但是在曲线内部 \(\vec{F}\) 有奇点(一阶偏导数不存在或者不连续),这种情况我们通过添加辅助线,将奇点挖掉,然后应用格林公式。最后将辅助线上的积分减去,就得到了原来的曲线积分的值;
  • 若 \(L\) 是平面开曲线,我们可以通过添加简单的辅助线(为了方便计算),使新的曲线成为一个简单闭曲线,然后应用格林公式,最后减去辅助线上的积分,就得到原曲线积分的值。

这一部分讲解起来内容比较多,可以看我们的视频教程:如何应用格林公式(Green’s Theorem) 求曲线积分

3,若 \(L\) 是一个空间闭曲线,则可应用Stokes 公式,将曲线积分化成曲面积分。在曲面的选择上,可以选择比较简单的、容易计算的曲面来进行计算。(因为以 \(L\) 为边界的曲面很多,我们可以选择最简单的曲面。)理论上来说,空间开曲线也可以通过添加辅助线的方式来应用 Stokes 公式,但一般来说,这样的计算相对繁琐,我们一般不考虑。这部分的内容可以观看视频:Stokes 定理

这三种方法是最常用的方法,当然还有一些其它的方法,例如积分与路径无关,全微分求积等等,但这些方法基本上是从三大定理推导出来的。除了直接计算的方法以外,我们只需要掌握三大定理的应用,曲线积分和曲面积分的部分就算是掌握了。

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如何计算对弧长的曲线积分(line integral to arc length)?

对弧长的曲线积分,通常是具有形式 \(\int_L f(x,y)ds\)(二维)或者 \(\int_L f(x,y,z)ds\)(三维)。对弧长的曲线积分,计算方法是很直接的,没有太多技巧可言,运用弧微分 \(ds\) 的公式计算即可。

  • 如果 \(L\) 是平面曲线并且由参数方程给出 \(x=\phi(t), y=\psi(t), \alpha\le t\le \beta\),那么弧微分的表达式为\[ds=\sqrt{\phi’^2(t)+\psi’^2(t)}dt,\] 所以曲线积分可以用定积分\[\int_{\alpha}^{\beta}f( \phi(t), \psi(t)) \sqrt{\phi’^2(t)+\psi’^2(t)}dt \]来计算;
  • 如果 \(L\) 是空间曲线并且由参数方程给出 \(x=\phi(t), y=\psi(t), z=\gamma(t), \alpha\le t\le \beta\),那么弧微分的表达式为\[ds=\sqrt{\phi’^2(t)+\psi’^2(t)+\gamma’^2(t)}dt,\]
    从而曲线积分可以用定积分\[\int_{\alpha}^{\beta}f( \phi(t), \psi(t),\gamma(t)) \sqrt{\phi’^2(t)+\psi’^2(t) +\gamma’^2(t) }dt \]来计算;
  • 如果 \(L\) 是平面曲线并且由函数 \(y=g(x), a\le x\le b\) 给出,则弧微分的表达式为\[ds=\sqrt{1+g’^2(x)}dx,\]从而曲线积分可以用定积分\[\int_a^bf(x,y) \sqrt{1+g’^2(x)}dx \]来计算。