函数的极值 local maximum and minimum

函数的极值,就是局部最大值,就是在一个小的范围内,函数的值取到最大或者最小。确定函数的极值的方法主要有两种,一种是通过函数在临界点(critical points)附近一阶导数的变化情况来确定;另一种是通过函数在临界点处的二阶导数来确定。

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函数的临界点是指 \(f'(x)=0\) 的点或者不存在的点。如果函数的一阶导数在临界点两边变号,则临界点必定为函数的极值点。当然这里要求函数在这一点是连续的。

具体来说,如果对 \(x<x_0, f'(x)<0\), \(x>x_0, f'(x)>0\),则 \(f(x_0)\) 为极小值;反之,如果对 \(x<x_0, f'(x)>0\), \(x>x_0, f'(x)<0\),则 \(f(x_0)\) 为极大值。 第一种情况是先减少再增加,所以这一点为极小值, 第二种情况是先增加后减少, 所以为极大值。

第二种方法就是利用函数的二阶导数来判定。如果 \(f'(x_0)=0\) 且 \(f”(x_0)<0\),则 \(f(x_0)\) 为极大值;反之, 如果 \(f'(x_0)=0\) 且 \(f”(x_0)>0\),则 \(f(x_0)\) 为极小值 。 因为第一种情况,函数在这点斜率为 0 且开口朝下,所以为极大值;第二种情况函数斜率为 0 且开口朝上,所以这一点为极小值。