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如何判定一个向量组(vector set)是线性相关(linearly dependent)还是线性无关(linearly independent)?

我们从线性相关和线性无关的定义知道, 一个向量组 \((\vec{u}_1, \vec{u}_2,\cdots, \vec{u}_n)\) 是线性无关的,如果等式

\[ k_1 \vec{u}_1+k_2\vec{u}_2+\cdots+k_n\vec{u}_n=0 \]

仅当所有系数 \(k_i, 1\le i\le n\) 为 0 时才成立。反之,只要有一个 \(k_i\) 不等于 0 ,就能让这个等式成立,这个向量组就说是线性相关的。

那么从定义出发,我们要确定向量组是否线性无关,我们就需要求出所有的 \(k_i\),这并不是最有效的方法。如果我们将这个等式用矩阵的方式写出来,那么问题就变得简单了:

\[A\vec{x}=\vec{0}, \text{其中} A=\begin{pmatrix} \vec{u}_1&\vec{u}_2&\cdots&\vec{u}_n\end{pmatrix}, \quad \vec{x}=\begin{pmatrix}k_1\\k_2\\ \vdots\\ k_n\end{pmatrix} \]

这样一来, \(k_i, 1\le i\le n\) 全部为 0 就等价于方程组只有零解(平凡解,或者 trivial solution),而齐次线性方程组只有零解的等价条件有很多个:

  • \(\text{Rank} A=n\)
  • \(\text{det}A=|A|\ne 0\)
  • \(A\vec{x}=\vec{b}\) 有唯一解

等等。其实还有很多其它的条件,我们这里只列出常用的这几个。所有这些等价条件里,计算量最少的方法是求秩(rank)的方法。因为求秩的话,我们不需要求出解,也不用求矩阵的最简表达式。只需要求出它的阶梯形,所以计算最少。

我们举一个例子。判定下列向量组是线性相关还是线性无关?

\[(1) \begin{pmatrix}-1\\3\\1\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1\\4\\1\end{pmatrix}\qquad (2) \begin{pmatrix}2\\3\\0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}-1\\4\\0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0\\0\\2\end{pmatrix} . \]

解:(1)令

\[ A=\begin{pmatrix}-1&2&1\\3&1&4\\1&0&1\end{pmatrix} \]

对矩阵作初等变换,

\[ A=\begin{pmatrix}-1&2&1\\3&1&4\\1&0&1\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix} 1&0&1 \\3&1&4\\ -1&2&1 \end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix} 1&0&1 \\0&1&1\\ 0&2&2 \end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix} 1&0&1 \\0&1&1\\ 0&0&0 \end{pmatrix} \]

所以行阶梯形只有两个非零行,所以 \(\text{Rank}A=2<3\)。从而向量组是线性相关的。

(2)我们令 \[A= \begin{pmatrix} 2&-1&0 \\3&4&0\\ 0&0&2 \end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix} 2&-1&0 \\0&\frac{11}{2}&0\\ 0&0&2 \end{pmatrix} \]

所以矩阵的行阶梯形有三个非零行,所以 \(\text{Rank}A=3\),所以向量组是线性无关的。

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