Posted on Leave a comment

什么是Related Rates(相关变化率)?怎么求?

AP Calculus 里面,Related rates 这一部分考得比较多。大学里面的微积分课程,这一部分也经常是考察的重点。 很多同学不能理解这里面的概念,也不知道怎么把它转化成数学问题。 现在我就这一部分进行解答。

那什么是Related rates 呢? 举例来说吧。我们知道圆的面积 \(A=\pi r^2\),如果这个半径是根据时间变化的,那么很显然,面积也根据时间变化。变化率其实就是导数,如果我们知道半径的变化率(就是半径关于时间的导数) \(\frac{dr}{dt}\),那么在某个时刻,面积对于时间的变化率(导数)\(\frac{dA}{dt}\)也就知道了。

从数学的角度来看这个问题,其实就是复合函数的求导法则(Chain Rule)。半径可以看成是时间的函数 \(r=r(t)\),那么面积 \(A(t)=\pi r^2(t)\),由复合函数的求导法则 \(\frac{dA}{dt}=\frac{dA}{dr}\cdot\frac{dr}{dt}=2\pi r \frac{dr}{dt}\)。假如 \(r\) 每秒增加 \(1\) cm, 那么当半径为 \(2\) 的时候的面积的变化率为 \(2\pi \cdot 2\cdot 1=4\pi cm\)。

这种类型的问题,另一个难点是不知道怎么把实际问题转化成数学问题。这就是如何建立数学模型的问题。它的实际困难就是,很多同学并不知道其实变化率就相当于导数。但是从导数的定义就知道,导数就是变化率\(\frac{\Delta y}{\Delta x}\)的极限。当时间间隔足够短的时候,变化率就可以看成是导数。

我们来看两个例题,来说明如何求相关变化率。

例1:设\(x^2+y^2=25\)以及当\(x=4\) 的时候 \(\frac{dx}{dt}=5\), 求当 \(x=2\) 的时候 \(\frac{dy}{dt}\)的值。

解:两边关于 \(t\) 求导,我们得到

\[2x \frac{dx}{dt}+2y\frac{dy}{dt}=0 \]

当 \(x=4\) 的时候 , \(y=\pm 3\)

\[8\cdot 5\pm6 \frac{dy}{dt}=0 \]

所以

\[ \frac{dy}{dt}=\mp \frac{20}{3} .\]

例2:两辆汽车从同一点出发,其中一辆以 \(60\) 公里每小时向南行驶,另一辆车以每小时\(25\)公里向西行驶。问在两小时后,两辆车的距离的变化率是多少?

解:我们可以用图来说明

我们设AB 的长度为 \(x\), AC 的长度为 \(y\),BC 的长度为 \(z\),那么 \(z^2=x^2+y^2\),两小时后,\(x=120, y=50\),\(z=130\), 同时,由题设,\(\frac{dx}{dt}=60, \frac{dy}{dt}=25\),我们要求的是 \(\frac{dz}{dt}\),我们对方程 \(z^2=x^2+y^2\) 两边同时对 \(t\) 求导,我们得到

\[2z\frac{dz}{dt}=2x\frac{dx}{dt}+2y\frac{dy}{dt}\]

代入我们刚才得到的数值,我们有

\[2\cdot 130 \frac{dz}{dt}=2\cdot 120\cdot 60+2\cdot 50\cdot 25 \]

所以 \(\frac{dz}{dt}=\frac{16900}{260}=65\)公理/小时

发表评论

电子邮件地址不会被公开。 必填项已用*标注