复球面与扩充复平面

每一个复数不光可以用平面上的点表示,还可以与单位球面上的点作一一对应,这种对应关系就是复数的球面表示。这样的球面叫做复球面。所有的平面上的复数加上一个数无穷大 \infty 组成了扩充复平面。

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1,复球面:我们用这样的方式将单位球面 x^2+y^2+u^2=1 上的点与复数对应起来:将单位球面上的北极点 (0,0,1) 与球面上一点 (x,y,u) 连接成一条直线,这条直线与复平面的交点为 (x',y'),则复数 z=x'+iy' 就与球面上的点 (x,y,u) 成了一一对应。

我们称 (x,y,u) 为复数 z=x'+iy' 的球面表示。这个单位球面我们称之为复球面,或者黎曼球面。

用相似三角形的关系式,

    \[\frac{x'}{x}=\frac{y'}{y}=\frac{r}{\rho}=\frac{1}{1-u}\]

我们可以得到这个一一对应的具体表达式为

    \[x'=\frac{x}{1-u}, y'=\frac{y}{1-u}\]

所以

    \[z=x'+iy'=\frac{x}{1-u}+\frac{y}{1-u}i=\frac{x+iy}{1-u}\]

2,无穷大:我们将球面的北极 (0,0,1) 对应于无穷远点 \infty,这个点也称为无穷大,或者简称为无穷。

3,扩充复平面:我们将复平面加上无穷大,就称为扩充复平面。也就是

    \[\mathbb{C}^*=\mathbb{C}\cup \infty\]

4,球极射影是一一对应的,因为

    \[z\bar{z}=\frac{x+iy}{1-u}\cdot\frac{x-iy}{1-u}=\frac{x^2+y^2}{(1-u)^2}=\frac{1-u^2}{(1-u)^2}\frac{1+u}{1-u}\ne 0\]

5,注意,扩充复平面的无穷大无正、负之分。但是约定 |\infty|=+\infty

6,无穷大的运算:

(1)a+\infty=\infty;

(2)a-\infty=\infty-a=\infty:

(3)a\cdot\infty=\infty\cdot a=\infty,\quad a\ne 0

(4)\frac{a}{\infty}=0, \frac{\infty}{a}=\infty, \quad a\ne \infty

(5)\frac{a}{0}=\infty