复数的幂与方根

复数的幂的定义与实数一样,但是它的计算如果直接用定义来计算显然不是很方便的。利用复数的极坐标表达式,能够极大地简化复数求幂的运算。

复数的方根也与实数有所不同,是几次方根就有几个根。它的计算也是利用复数的极坐标表达式。

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1,复数的幂:设 \(z=x+iy=re^{i\theta}\),则

\[z^n=(x+iy)^n=(re^{i\theta})^n=r^ne^{in\theta}=r^n(\cos n\theta+i\sin n\theta)\]

若 \(r=1\) ,我们就得到了德摩佛公式:

\[(\cos\theta+i\sin\theta)^n=\cos n\theta+i\sin n\theta\]

2,复数的方根:设 \(z^{\frac{1}{n}}=w\)。将 \(z\) 和 \(w\) 都写成指数形式,

\[z=re^{i\theta}, w=\rho e^{i\phi}\]

则 \begin{align*}&\quad\rho e^{i\phi}=(re^{i\theta})^{\frac{1}{n}}\\ &\Rightarrow \rho^ne^{in\phi}=re^{i\theta}\\ &\Rightarrow \rho^n=r, n\phi=\theta+2k\pi\\ &\Rightarrow \rho=r^{\frac{1}{n}}, \phi=\frac{\theta}{n}+\frac{2k\pi}{n}, n=0,\pm 1,\pm 2,\cdots\end{align*}

因为 \(k\ge n\) 时,\(\frac{\theta}{n}+\frac{2k\pi}{n}\) 会与前面 \(k, k=0,1,2,\cdots,k-1\) 个点的其中一个重合,所以我们只需要取 \(k=0,1,2,\cdots,k-1\) 就可以了,也就是说

\[z^{\frac{1}{n}}=r^{\frac{1}{n}}e^{\frac{\theta+2k\pi}{n}}, k=0,1,2,\cdots,k-1\]

也就是说,复数的方根的个数与方根的次数一致。

例1:计算 \(\sqrt[4]{1+i}\)。

解:因为 \[1+i=\sqrt{2}e^{\frac{\pi}{4}i}\] 所以

\[\sqrt[4]{1+i}=(\sqrt2)^{\frac{1}{4}}e^{i\frac{\frac{\pi}{4}+2k\pi}{4}}=\sqrt[8]{2}e^{i\left(\frac{\pi}{16}+\frac{k\pi}{2}\right)}, k=0,1,2,3\]

也就是说,\(\sqrt[4]{1+i}\) 有四个根

\[w_1=\sqrt[8]{2}e^{i\frac{\pi}{16}}, w_2=\sqrt[8]{2}e^{i\left(\frac{\pi}{16}+\frac{\pi}{2}\right)}, w_3\sqrt[8]{2}e^{i\left(\frac{\pi}{16}+\pi\right)}, w_4\sqrt[8]{2}e^{i\left(\frac{\pi}{16}+\frac{3\pi}{2}\right)}\]

例2,计算 \(\sqrt[3]{-8}\)。

解:因为 \(-8=8e^{\pi i}\),所以

\[\sqrt[3]{-8}=8^{\frac{1}{3}}e^{\frac{\pi+2k\pi}{3}}=2e^{\frac{\pi+2k\pi}{3}i}, k=0,1,2\]

所以 \(\sqrt[3]{-8}\) 的三个根为

\[w_1=2e^{\frac{\pi i}{3}}, w_2=2e^{\pi i}=-2, w_3=2e^{\frac{5\pi}{3}i}\]