复数及其代数运算

复数的加、减、乘、除等运算法则。

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1,虚数单位:我们定义 \(i=\sqrt{-1}\),我们称之为虚数单位。

2,复数:若 \(x,y\in\mathbb{R}\) 都是实数,则称 \(z=x+iy\) 为一个复数。若 \(x=0\) 则称 \(z=iy\) 为一个纯虚数。

3,若 \(z=x+iy\),则称 \(x=\text{Re}z\) 为 \(z\) 的实部; \(y=\text{Im}z\) 为 \(z\) 的虚部。

4,复数的四则运算:我们定义复数的四则运算

  • \(z_1+ z_2=(x_1+iy_1)+(x_2+iy_2)=(x_1+x_2)+i(y_1+y_2)\);
  • \(z_1+ z_2=(x_1+iy_1)-(x_2+iy_2)=(x_1-x_2)+i(y_1-y_2)\);
  • \(z_1\cdot z_2=(x_1x_2-y_1y_2)+i(x_1y_2+y_1x_2)\),因为\begin{align*}z_1\cdot z_2&=(x_1+iy_1)\cdot(x_2+iy_2)\\ &=x_1x_2+ix_2y_1+iy_1x_2+i^2y_1y_2\\ &=x_1x_2+i(x_2y_1+y_1x_2)-y_1y_2\\ &=(x_1x_2-y_1y_2)+i(x_1y_2+y_1x_2);\end{align*}
  • \(\displaystyle\frac{z_2}{z_1}=\frac{x_1x_2+y_1y_2}{x_1^2+y_1^2}+i\frac{x_2y_1-x_1y_2}{x_1^2+y_1^2}\),因为\begin{align*}\frac{z_2}{z_1}&=\frac{x_2+iy_2}{x_1+iy_1}=\frac{(x_2+iy_2)\cdot(x_1-iy_1)}{(x_1+iy_1)\cdot(x_1-iy_1)}\\ &=\frac{(x_1x_2+y_1y_2)+i(x_2y_1-x_1y_2)}{x_1^2+y_1^2}\\ &=\frac{x_1x_2+y_1y_2}{x_1^2+y_1^2}+i\frac{x_2y_1-x_1y_2}{x_1^2+y_1^2}\end{align*}

5,共轭复数:若 \(z=x+iy\),则 \(\bar{z}=x-iy\) 称为 \(z\) 的共轭复数。

6,模:\(\displaystyle |z|=(z\bar{z})^{\frac{1}{2}}\) 称为复数 \(z\) 的模。

例1:设 \(z_1=2-3i, z_2=4+i\),求 \(\displaystyle z_1\cdot z_2, \frac{a_1}{z_2},|z_1|\)。

解:\begin{align*}z_1\cdot z_2=(2-3i)\cdot(4+i)=8-12i+2i+3=11-10i\end{align*}

\begin{align*}\frac{z_1}{z_2}&=\frac{2-3i}{4+i}=\frac{(2-3i)(4-i)}{(4+i)(4-i)}\\ &=\frac{8-12i-2i-3}{16+1}=\frac{5-14i}{17}=\frac{5}{17}-\frac{14}{17}i\end{align*}

\begin{align*}|z_1|=\sqrt{(2-3i)(2+3i)}=\sqrt{4+9}=\sqrt{13}\end{align*}

例2:若 \(z=x+iy, xy\in\mathbb{R}\),求 \(\frac{1}{\bar{z}},z^2, \frac{1+z}{1-z}\)。

解:(1)\begin{align*}\frac{1}{\bar{z}}&=\frac{1}{x-iy}=\frac{x+iy}{(x-iy)(x+iy)}\\ &=\frac{x+iy}{x^2+y^2}=\frac{x}{x^2+y^2}+i\frac{y}{x^2+y^2}\end{align*}

(2)\begin{align*}z^2&=(x+iy)(x+iy)=x^2+2ixy-y^2=x^2-y^2+2ixy\end{align*}

(3)\begin{align*}\frac{1+z}{1-z}&=\frac{1+x+iy}{1-x-iy}=\frac{(1+x+iy)(1-x+iy)}{(1-x-iy)(1-x+iy)}\\ &=\frac{(1+iy)^2-x^2}{(1-x)^2+y^2}=\frac{1+2iy-y^2-x^2}{(1-x)^2+y^2}\\ &=\frac{1-x^2-y^2}{(1-x)^2+y^2}+i\frac{2y}{(1-x)^2+y^2}\end{align*}