复平面上的区域和曲线

区域就是连通的开集。区域分为有界区域和无界区域,有界区域就是它的整体可以包含在一个半径为有限的圆中。复平面上的曲线一般是用参数方程的方式给出。我们通常考虑得比较多的是简单曲线和简单闭曲线。简单曲线是分段光滑的曲线且自身不相交,而简单闭曲线就是起点和终点在同一点上的简单曲线。

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1,区域:连通的开集称为区域。

所谓连通的集合,就是集合里面任何两点都可以用完全位于集合里的折线连接起来。

例如:\(D=\{z| |z|<1\}\) 是一个区域,它是一个开圆;

\(D=\{z| \text{Re}z>0\}\) 是一个区域,它是右半平面;

\(D=\{z | \text{Im}z<0\}\) 也是一个区域,它是下半平面。

2,曲线:(1)可以用参数方程表示复平面上的曲线,\(\gamma(t): x=x(t),y=y(t), \alpha\le t\le \beta\),其中 \(x(t),y(t)\) 都是区间 \([a,b]\) 上的连续曲线。

(2)参数方程表示的曲线也可以写成 \(z(t)=x(t)+iy(t), \alpha\le t\le \beta\)。

(3)若 \(x(t),y(t)\) 都连续可导,我们称 \(\gamma(t)\) 是光滑曲线。

(4)若 \(\gamma(\alpha)=\gamma(\beta)\),也就是曲线的起点与终点在同一点,这时候 \(\gamma(t)\) 就是一条闭曲线。

例如,\(\gamma(t): x=\cos t, y=\sin t, 0\le t\le 2\pi\),这是一个闭曲线,它是一个单位圆。

(5)简单曲线:无重点的曲线,或者自身不相交的曲线,称为简单曲线。

(6)简单闭曲线:自身不相交的简单曲线称为简单闭曲线,也称为约当(Jordan)曲线。

3,约当(Jordan)定理:简单闭曲线将平面分成两个部分(两个区域),一个是曲线的内部,它是有界的,另一个是曲线的外部,它是无界的。

这个证明需要较多的拓扑学知识,我们略过。

4,单连通区域:区域内任何一条简单闭曲线的内部都属于该区域,这样的区域称为单连通区域。

拓扑学上的定义是:任何一条简单闭曲线可以在区域内连续地收缩成一点。

当然,这两个定义是等价的。