复平面,复数的模与辐角

一个复数实际上是由一对实数所定义,而一对实数可以跟平面上的点作一一对应,从而我们可以将每一个复数在平面上表示,这样的平面就叫作复平面。

复平面如果采用极坐标,就可以将复数用极坐标表示。那么复数的模就这个复数所代表的向量的长度,辐角是这个复数代表的向量与极轴的夹角。

笔记下载:复数的平面表示

1,复数的平面表示:我们知道,每一个复数 \(z=x+iy\) 对应着一对实数 \((x,y)\),所以一个复数可以用平面上的点 \((x,y)\) 来表示。第一个坐标称为实轴,第二个坐标称为虚轴。复数所在的平面称为复平面。

2,复数的极坐标表示:类似于二维平面,对于复数我们也可以引入极坐标。

\[z=x+iy=r(\cos\theta+i\sin\theta)\]

其中 \(r=\sqrt{x^2+y^2}\) 为点 \(z=x+iy\) 到原点的距离,\(\theta\) 为 \(z\) 与原点的连接的线段与正向实轴的夹角。

由极坐标与直角坐标之间的关系,我们有

\[\begin{cases}x=r\cos\theta\\ y=r\sin\theta\end{cases},\quad \begin{cases}r=\sqrt{x^2+y^2}\\ \theta=\begin{cases}\arctan\frac{y}{x},& y>0\\ \arctan\frac{y}{x}+\pi,& y<0\end{cases}\end{cases}\]

我们记 \(|z|=\sqrt{x^2+y^2}=r\) 为复数 \(z\) 的模或者绝对值;\(\theta \) 称为复数 \(z\) 的辐角。辐角不唯一,因为 \(2\pi+\theta\) 仍然是 \(z\) 的辐角。

记一般的辐角为 \(\text{Arg} z\),当 \(0\le\theta\le 2\pi\) 时,称为 \(z\) 的主辐角,记为 \(\text{arg}z\),也就是说 \(\text{Arg}z=\text{arg}z+2n\pi\)。有时候也选择 \(-\pi\le \text{arg}z\le \pi\)。

3,复数的指数形式:由熟知的欧拉公式

\[e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta\]

我们可以将复数写成指数形式:\(z=r(\cos\theta+i\sin\theta)=re^{i\theta}\)。

例1:求 \(\text{Arg}(2-2i), \text{Arg}(-3+4i)\)。

解:(1)\(\tan\theta=\frac{-2}{2}=-1\),因为 \(y<0\),

\[\text{arg}(2-2i)=\arctan(-1)+\pi=\frac{3\pi}{4}+\pi=\frac{7\pi}{4}\]

\[\text{Arg}(2-2i)=\frac{7\pi}{4}+2n\pi, \quad n=0,\pm1,\pm 2,\cdots\]

我们也可以选择

\[\text{arg}(2-2i)=\arctan(-1)=-\frac{\pi}{4}, \] \[ \text{Arg}(2-2i)=-\frac{\pi}{4}+2n\pi, \quad n=0,\pm1,\pm 2,\cdots\]

(2)因为 \(\tan\theta=-\frac{4}{3}\),\(y>0\),所以

\[\text{arg}(-3+4i)=\arctan(-\frac{4}{3})+\pi\]

\[\text{Arg}(-3+4i)=\arctan(-\frac{4}{3})+(2n+1)\pi, \quad n=0,\pm1,\pm 2,\cdots\]

例2:已各流体在某点的速度为 \(v=-1-i\),求它的大小和方向。

解:\(|v|=\sqrt{(-1)^2+(-1)^2}=\sqrt{2}\),\(y<0\),它的方向为

\[\text{arg}(-1-i)=\arctan\frac{-1}{-1}+\pi=\arctan1+\pi=\frac{\pi}{4}+\pi=\frac{5\pi}{4}\]