复平面上的点集

与实数平面一样,我们在复平面上也定义了一些集合,这些集合有领域、开集、闭集,以及一些相差的点的定义:内点、外点、边界点、聚点、孤立点等等。

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1,开集与闭集:

(1)邻域:满足关系 \(|z-z_0|<\delta\) 的 \(z\),称为 \(z_0\) 的 \(\delta\) 邻域,记为 \(N_{\delta}(z_0)\)。

(2)内点:若存在一个 \(z_0\) 的 \(\delta\) 邻域 \(N_{\delta}(z_0)\),使得 \(N_{\delta}(z_0)\subset E\),则称 \(z_0\) 为 \(E\) 的内点。

\(E\) 的内点记为 \(E^{\circ}\)。

(3)开集:若 \(E\) 中所有的点都是内点,我们称 \(E\) 为一个开集。例如 \(E=\{z\}z<1\}, E_1=\{z||z-1|<1\}, E_2=\{z| |z-i|<1\}\) 都是开集。

(4)闭集:若一个集合 \(E\) 的余集 \(E^C\)是开集,则 \(E\) 是闭集。

(5)外点:\(z_0\) 是 \(E\) 的外点 \(\Rightarrow\) 存在 \(z_0\) 的一个邻域 \(N_{\delta}(z_0)\cap E=\varnothing\);

边界点:\(z_0\) 是 \(E\) 的边界点 \(\Rightarrow\) 对 \(z_0\) 的任何一个邻域 \(N_{\delta}(z_0)\cap E\ne\varnothing\);

聚点:\(z_0\) 是 \(E\) 的聚点 \(\Rightarrow\) 对 \(z_0\) 的任何一个邻域 \(N_{\delta}(z_0)\),总有无穷多个点在 \(E\) 中;

孤立点:\(z_0\) 是 \(E\) 的孤立点 \(\Rightarrow\) 存在 \(z_0\) 的一个邻域 \(N_{\delta}(z_0)\cap E=\{z_0\}\),也就是说,这个邻域里除了 \(z_0\) 以外,没有点在 \(E\) 中;

一个基本的事实是,离散点集都是孤立点。