指数函数与三角函数

我们先利用实函数指数函数的级数表示式定义复数指数函数,然后利用欧拉公式定义复数三角函数。同时给出这两种函数的一些性质。

我们要注意的是,复数正弦级数与余弦级数与实数正弦与余弦函数不同,复正弦与余弦函数不是有界的。

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我们在学习微积分的时候,我们主要研究的是初等函数,也就是幂函数、三角函数、指数函数、对数函数与反三角函数,通过有限次四则运算和复合而得到的函数。那么,在复数域,如何定义初等函数呢?

这个视频,我们给出指数函数与三角函数的定义。我们首先来定义复指数函数。

我们知道,指数函数 \(e^x\) 有幂级数表达式\[e^x=1+x+\frac{1}{2!}x^2+\frac{1}{3!}x^3+\cdots =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}x^n\]

所以 \[\begin{align*}e^{iy}&=1+iy+\frac{1}{2!}(iy)^2+\frac{1}{3!}(iy)^3+\cdots\\ &=(1-\frac{1}{2!}y^2+\frac{1}{4!}y^4+\cdots)+i(y-\frac{1}{3!}y^3+\cdots)\end{align*}\]

而我们知道 \(\cos y= 1-\frac{1}{2!}y^2+\frac{1}{4!}y^4+\cdots \),\(\sin y= y-\frac{1}{3!}y^3+\cdots \),所以我们得到欧拉公式 \(e^{iy}=\cos y+i\sin y\),从而,我们可以定义\[e^z=e^{x+iy}=e^x(\cos y+i\sin y)\]

我们这样定义的指数函数与实指数函数有差不多的性质,我们列举如下:

  • \(e^{z_1+z_2}=e^{z_1}e^{z_2}=e^{x_1+x_2}(\cos(y_1+y_2)+i\sin(y_1+y_2))\);
  • \(|e^z|\ne 0\);
  • \(e^z\) 在整个复平面上全纯,且 \((e^z)’=e^z\);
  • \(e^z\) 以 \(2\pi i\) 为周期。

由欧拉公式,我们知道 \[\cos x=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}, \sin x=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}\]从而我们定义复余弦函数与复正弦函数为\[\cos z= \frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}, \quad \sin x=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i} \]

这样定义的正弦与余弦函数也有很多与实正弦函数、余弦函数相似的性质,但是要注意的是不同的性质,我们将不同的性质放在第一条:

  • \(\cos z,\sin z\) 不是有界的;
  • \(\cos z,\sin z\) 在复平面上全纯,且\[(\cos z)’=-\sin z, (\sin z)’=\cos z\]
  • \(\cos z,\sin z\) 以 \(2\pi\) 为周期;
  • \(\sin z\) 是奇函数, \(\cos z\) 是偶函数;
  • 和差化积公式 \[\cos(z_1+z_2)=\cos z_1\cos z_2-\sin z_1\sin z_2, \sin(z_1+z_2)=\sin z_1\cos z_2+\sin z_2\cos z_1\]
  • 平方和公式 \[\sin^2z+\cos^2z=1\]

定义了正弦与余弦函数后,我们就可以定义其它的三角函数,这个跟实三角函数一样。\[\tan z=\frac{\sin z}{\cos z}, \cot z=\frac{\cos z}{\sin z}, \sec z=\frac{1}{\cos z}, \csc z=\frac{1}{\sin z}\]