对数函数

我们定义复数域上的对数函数为指数函数的反函数。也就是说如果 \(e^w=z\),那么 \(w=\rm{Ln}(z)\)。现在我们将 \(z\) 写成指数形式 \(z=re^{i\theta}\),而 \(w=u(x,y)+iv(x,y)\),那么 \(e^w=z\) 给出了

\[e^{u(x,y)}=r=|z|, \quad e^{v(x,y)}=e^{i\theta}\]也就是说,\[w=\ln|z|+i\text{Arg} z\]这就给出了对数函数的定义。

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如果我们令 \(\text{arg}z\) 为 \(z\) 的主辐角,则 \[\text{Ln} z= \ln |z|+i\text{arg} z+2k\pi i\] 所以,复对数函数是多值函数。

我们记 \(\ln z=\ln|z|+\text{arg}z\),则 \(\ln z\) 称为 \(\text{Ln}z\) 的主枝,或者主值分支。

另外一个需要注意的地方是,复对数函数对负实数也是有定义的,这一点与实对数函数也是不同的。

例1:求 \(\text{Ln}(1+i), \ln(1+i),\text{Ln}(-1+\sqrt{3}i),\ln(-1+\sqrt{3}i)\)。

解:(1)\(z=1+i\),则

\[|z|=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}, \text{arg}z=\arctan1=\frac{\pi}{4}\]

所以

\begin{align*}\text{Ln}(1+i)&=\ln\sqrt{2}+i\frac{\pi}{4}+2n\pi i=\frac{1}{2}\ln 2+i\frac{\pi}{4}+2n\pi i\\ \ln(1+i)&=\frac{1}{2}\ln 2+i\frac{\pi}{4}\end{align*}

(2)\(z=-1+\sqrt{3}i\),则

\[|z|=\sqrt{1+3}=2, \text{arg}z=\arctan\frac{\sqrt3}{-1}=\frac{2\pi}{3}\]

所以

\[\text{Ln}(-1+\sqrt{3}i)=\ln2+\frac{2\pi}{3}i+2n\pi i, \quad \ln(-1+\sqrt{3}i)=\ln2+\frac{2\pi}{3}i\]

2,对数函数的性质:

(1)\(\displaystyle \text{Ln}(z_1\cdot z_2)=\text{Ln}z_1+\text{Ln}z_2,\quad \text{Ln}\frac{z_1}{z_2}=\text{Ln}z_1-\text{Ln}z_2\);

由复数的指数形式,我们就知道\[\text{Arg}(z_1\cdot z_2)=\text{Arg}z_1+\text{Arg}z_2, \quad \text{Arg}\frac{z_1}{ z_2}=\text{Arg}z_1-\text{Arg}z_2 \]

再由实对数函数的性质就可以得到结论。

(2)\(\displaystyle\frac{d}{dz}\text{Ln}z=\frac{1}{z}\)。

利用反函数的求导法则,\(\displaystyle\frac{d}{dz}f^{-1}(z)=\frac{1}{f'(f^{-1}(z))}\),就有

\[\frac{d}{dz}\text{Ln}z=\frac{1}{(e^w)’}=\frac{1}{e^{\text{Ln}z}}=\frac{1}{z}\]

3,对数函数的单叶区域:单叶区域 \(D\) 就是函数在区域 \(D\) 是一对一的(单射)。

如果我们取主辐角 \(0<\text{arg}z<2\pi\),则函数的单叶区域就是复平面去掉正实轴;如果取主辐角为 \(-\pi<\text{arg}z<\pi\),则函数的单叶区域就是复平面去掉负实轴。