复数域上的幂函数

如果复数域上的幂函数的指数为实数,那么它们的定义是与实函数是一致的。那如果指数是复数,那么它的定义是什么?这时候我们利用复对数函数和指数函数来定义它。

我们定义复数域上的幂函数 \(w=z^a\) 为

\[z^a=e^{a\text{Ln} z}\]

笔记下载:幂函数

例1:求 \(\displaystyle i^i\) 的值。

解:\begin{align*}i^i&=e^{i\text{Ln}i}=e^{i(\ln 1+i\text{Arg}i)}\\ &=e^{i(\frac{\pi}{2}+2n\pi)}=e^{\frac{\pi i}{2}}=\cos\frac{\pi }{2}+i\sin \frac{\pi }{2}=i\end{align*}

例2,求 \(\displaystyle 1^{\sqrt2}\) 的值。

解:\begin{align*}1^{\sqrt2}&=e^{\sqrt{2}\text{Ln}1}=e^{\sqrt{2}(\ln 1+i\text{Arg}1)}\\ &=e^{\sqrt{2}i\cdot 2n\pi}=\cos(2\sqrt{2}n\pi)+i\sin(2\sqrt{2}n\pi),\quad n=0,\pm1,\pm 2,\cdots\end{align*}

2,幂函数的主值(主值分支):\(\displaystyle z^a=e^{a\ln z}\)。

3,若 \(a\) 是实数,则幂函数的定义与通常实函数的定义一致。