复变函数的导数

1,函数 \(w=f(z)\) 在 \(z_0\) 处的导数定义为 \[f'(z_0)=\lim_{z\to z_0}\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0} \quad \text{或者}\quad f'(z_0) =\lim_{h\to 0}\frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h}\]这个定义与实函数的定义是一致的。

函数在一点可导,我们称这个函数在这一点“解析”,区域上每一个点都解析的函数称为这个区域上的解析函数,解析函数也称为全纯函数或者正则函数。

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我们可以利用这个导数的定义求出一些复变函数的导数,也可以证明一些复变函数是不可导的。我们来看两个例子。

例1:证明函数 \(f(z)=z^2\) 在整个复平面上可导,并求其导数。

解:由导数的定义,我们有

\[\begin{align*}f'(z)&=\lim_{h\to 0}\frac{f(z+h)-f(z)}{h}=\lim_{h\to0}\frac{(z+h)^2-z^2}{h}\\&=\lim_{h\to0}\frac{z^2+2zh+h^2-z^2}{h}=\lim_{h\to0}(2z+h)\\ &=2z\end{align*}\]

一般地,我们有 \((z^n)’=nz^{n-1}\),我们可以用几何级数公式得到这个结果。

例2:证明函数\(f(z)=\bar{z}\) 在整个复平面不可导。

证明:因为 \[\begin{align*}\lim_{h\to0}\frac{f(z+h)-f(z)}{h}&=\lim_{h\to0}\frac{\bar{z+h}-\bar{z}}{h}\\ &= \lim_{h\to0}\frac{\bar{z}+\bar{h}-\bar{z}}{h}\\ &=\lim_{h\to0}\frac{\bar{h}}{h}\end{align*} \]

所以当 \(h=\Delta x+i\Delta y\) 沿实轴 \(\Delta y=0\) 趋于 \(0\) 时,上式为 \(1\),而沿虚轴 \(\Delta x=0\) 趋于 \(0\) 时,上式为 \(-1\),所以极限不存在。因为 \(z\) 是平面 上的任意点,所以函数 \(f(z)=\bar{z}\) 在整个复平面不可导。

2,导数的运算性质:这些运算性质与实函数的性质是一样的。

(1)\(\displaystyle [f(z)\pm g(z)]’=f'(z)\pm g'(z)\);

(2)\(\displaystyle [f(z)\cdot g(z)]’=f'(z)g(z)+ f(z)g'(z)\);

(3)\(\displaystyle \left[\frac{f(z)}{g(z)}\right]’=\frac{f'(z)g(z)- f(z)g'(z)}{g^2(z)}\);

(4)\(\displaystyle [f(g(z))]’=f'(g(z))g'(z)\),这是复合函数求导公式(链式法则)。

例3:求 \(w=(z^2+2z-1)^{10}\) 的导数。

解:由上面第 \(4\) 项,复合函数求导公式 \[\left[(z^2+2z-1)^{10}\right]’=10(z^2+2z-1)^{9}(z^2+2z-1)’=10(z^2+2z-1)^{9}(2z^2+2)\]