复变函数及其极限与连续

复变函数就是定义在复数域上的函数,它的定义域与值域都是复数。我们通常记为 \(w=f(z)\),因为复变函数的定义域与值域都在面上,要画出它们的图形需要在四维空间里进行,我们没办法在我们通常所处的三维空间里给出。所以对于复变函数来说,我们分别用两张平面来表示复变函数的图形,一张平面表示原像,另一张表示它的像。

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1,复变函数:区域 \(D\) 上的每一个复数 \(z\),都有唯一的复数 \(w\) 与之对应,记为 \(w=f(z)\),称为 \(D\) 上的复变函数。

(1)要注意的是,这里 \(z,w\) 都是复数,\(f\) 是为它们的对应关系。

(2)\(z=x+iy, w=f(x+iy)\) 都是复数,\(w\) 也有它的实部和虚部,它们都是 \(x,y\) 的函数,我们记为

\[w=f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)\]

例1:\(w=z^2\),则

\[w=(x+iy)^2=x^2+2ixy-y^2=(x^2-y^2)+2ixy\]

所以 \(u(x,y)=x^2-y^2, v(x,y)=2xy\)。

例2:\(w=\frac{1}{\bar{z}}\),则

\[w=\frac{1}{\bar{z}}=\frac{1}{x-iy}=\frac{x+iy}{(x-iy)(x+iy)}=\frac{x+iy}{x^2+y^2}\]

所以 \(\displaystyle u(x,y)=\frac{x}{x^2+y^2}, v(x,y)=\frac{y}{x^2+y^2}\)。

(3)复变函数的定义域为 \(D\),如果没有特别指出区域 \(D\),一般约定使得函数有意义的区域为函数的定义域。例如函数 \(w=\frac{1}{z}\) 的定义域为 \(z\ne 0\)。

(4)值域:所有函数的取值,就是 \(w\) 所能取到的所有的值的集合。

2,复变函数的极限与通常的实数函数一样,我们说函数 \(w=f(z)\) 在点 \(z_0\) 处有极限 \(A\)(复数),\[\lim_{z\to z_0}f(z)=A\]是说:对任意的 \(\epsilon>0\),存在 \(\delta>0\),使得当 \(0<|z-z_0|<\delta\) 时,不等式 \(|f(z)-A|<\epsilon\) 成立。

要注意的是,函数在一点处的极限存在,是指当 \(z\) 以任意方向趋于 \(z_0\) 时,函数的极限都存在且相等。这与二元实函数的性质一致。所以证明极限存在,我们只需要证明存在两个方向 ,函数的极限不相等即可。但是要证明极限存在,我们可用的工具不多,基本上得用极限的定义,三明治定理或者化成一元函数的情形来求。

3,连续的定义也与实数的一致。我们说函数 \(w=f(z)\) 在点 \(z_0\) 连续,是指 \[\lim_{z\to z_0}f(z)=f(z_0).\]