反三角函数

我们定义复数域上的反三角函数为复三解函数的反函数。利用三角函数与指数函数之间的关系,我们可以得到反三角函数与指数函数之的关系。

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1,反三角函数:定义为三角函数的反函数

\[z=\sin w\quad\Rightarrow\quad w=\arcsin z=\sin^{-1}z\]

\[z=\cos w\quad\Rightarrow\quad w=\arccos z=\cos^{-1}z\]

现在我们根据三角函数与指数函数之间的关系,求出反三角函数的表达式。

2,\(w=\arccos z\) 的表达式。

\begin{align*}z=\cos w=\frac{e^{iw}+e^{iw}}{2}&\Rightarrow\quad e^{iw}+e^{-iw}-2z=0\\ &\Rightarrow \quad e^{2iw}-2ze^{iw}+1=0\\ &\Rightarrow \quad e^{iw}=\frac{2z\pm\sqrt{4z^2-4}}{2}\\ &\qquad\qquad =z\pm\sqrt{z^2-1}\end{align*}

我们之后证明,对于复数来讲,\(z+\sqrt{z^2-1}\) 与 \(z-\sqrt{z^2-1}\) 给出同样的两个复数,所以

\begin{align*}e^{iw}=z+\sqrt{z^2-1}&\Rightarrow\quad iw=\text{Ln}(z+\sqrt{z^2-1})\\ &\Rightarrow\quad w=-i\text{Ln}(z+\sqrt{z^2-1})\end{align*}

3,我们证明 \(z+\sqrt{z^2-1}\) 与 \(z-\sqrt{z^2-1}\) 给出同样的两个复数。

方程 \(az^2+bz+c=0\) 的解为 \(z=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=-\frac{b}{2a}\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)。我们记 \(b^2-4ac=re^{i\theta}\),则

\begin{align*}z&=-\frac{b}{2a}\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\ &=-\frac{b}{2a}\pm r^{\frac{1}{2}}e^{i\frac{\theta+2k\pi}{2}}, k=0,1\end{align*}

当 \(k=0\) 时,\(z=-\frac{b}{2a}\pm r^{\frac{1}{2}}e^{i\frac{\theta}{2}}\);

当 \(k=1\) 时,\(z=-\frac{b}{2a}\pm r^{\frac{1}{2}}e^{i\frac{\theta}{2}}\cdot e^{\pi i}=-\frac{b}{2a}\mp r^{\frac{1}{2}}e^{i\frac{\theta}{2}}\)。

所以 \(-\frac{b}{2a}+ r^{\frac{1}{2}}e^{i\frac{\theta+2k\pi}{2}}\) 与 \(-\frac{b}{2a}-r^{\frac{1}{2}}e^{i\frac{\theta+2k\pi}{2}}\) 得到到的是两个同样的数字。所以只要取

\[z=-\frac{b}{2a}+ r^{\frac{1}{2}}e^{i\frac{\theta+2k\pi}{2}}\]

就可以了。

4,反正弦与反正切函数:同样的推导, 我们可以得到

\[\arcsin z=-i\text{Ln}(z+\sqrt{z^2+1}),\quad \arctan z=\frac{1}{2i}\text{Ln}\frac{1+iz}{1-iz}\]

5,利用反函数的导数,可以求出

\(\displaystyle(\arcsin z)’=\frac{1}{\sqrt{1-z^2}}\):

\(\displaystyle(\arccos z)’=-\frac{1}{\sqrt{1-z^2}}\):

\(\displaystyle(\arctan z)’=\frac{1}{1+z^2}\)。

可以看到,这些公式在形式上与实函数的一样。