留数的计算

留数的计算,除了应用留数的定义以外,还有其它的一些计算方式,这一节我们讲述留数计算的常用方法。

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由前一个视频我们知道

\[\text{Res}(f(z),a)=c_{-1}\]

现在我们给出一些另外的计算留数的方法。

1,定理:若 \(z=a\) 是 \(f(z)\) 的 \(m\) 级极点, \(\displaystyle f(z)=\frac{\phi(z)}{(z-a)^m}\),其中 \(\phi(z)\) 在 \(a\) 附近解析且 \(\phi(a)\ne 0\)。则

\[\text{Res}(f(z),a)=\frac{\phi^{(m-1)}(a)}{(m-1)!}\]

特别地,\(m=1\),则 \(\text{Res}(f(z),a)=\lim_{z\to a}(z-a)f(z)=\phi(a)\);

\(m=2\),则 \(\text{Res}(f(z),a)=\phi'(a)\)。

证明:设 \(z=a\) 是 \(f(z)\) 的 \(m\) 级极点,则 \(\displaystyle f(z)=\frac{\phi(z)}{(z-a)^m}\),其中 \(\phi(z)\) 在 \(a\) 附近解析且 \(\phi(a)\ne 0\)。由解析函数的高阶导数公式

\begin{align*}\text{Res}(f(z),a)&=\frac{1}{2\pi i}\int_{|z-a|=\rho}f(z)dz\\ &=\frac{1}{2\pi i}\int_{|z-a|=\rho}\frac{\phi(z)}{(z-a)^m}\\ &=\frac{\phi^{(m-1)}(a)}{(m-1)!}\end{align*}

特别的,当 \(m=1\),这就是柯西积分公式

\[\text{Res}(f(z),a)=\frac{1}{2\pi i}\int_{|z-a|=\rho}\frac{\phi(z)}{z-a}=\phi(a)\]

例1,计算积分 \(\displaystyle\int_{|z-2|=\frac{1}{2}}\frac{zdz}{(z-1)(z-2)^2}\)。

解:函数有两个奇点 \(z=1,z=2\),但是 \(z=1\) 不在 \(|z-2|=\frac{1}{2}\) 内。也就是说 \(|z-2|=\frac{1}{2}\) 内有一个二级极点 \(z=2\),

\[f(z)=\frac{zdz}{(z-1)(z-2)^2}=\frac{\phi(z)}{(z-2)^2},\quad \phi(z)=\frac{z}{z-1}\]

而 \[\phi'(z)=\left(\frac{z}{z-1}\right)’=\frac{(z-1)-z}{(z-1)^2}=\frac{-1}{(z-1)^2}\]

所以 \(\displaystyle \text{Res}(f(z),2)=\phi'(2)=-1\)。

\begin{align*}\int_{|z-2|=\frac{1}{2}}\frac{zdz}{(z-1)(z-2)^2}=2\pi i\text{Res}(f(z),2)=2\pi i(-1)=-2\pi i\end{align*}

例2:计算积分 \(\displaystyle\int_{|z|=2}\frac{5z-2}{z(z-1)^2}dz\)。

解:被积函数有两个奇点 \(z=0,1\),都在 \(|z|=2\) 内。

\(z=0\) 为简单极点,\[\text{Res}(f(z),0)=\lim_{z\to 0}zf(z)=\lim_{z\to0}\frac{5z-2}{(z-1)^2}=-2\]

\(z=1\) 是二级极点,\(\displaystyle f(z)=\frac{\phi(z)}{(z-1)^2}, \phi(z)=\frac{5z-2}{z}\),

\[\text{Res}(f(z),1)=\phi'(1)=\left(5-\frac{2}{z}\right)’\Big|_{z=1}=\frac{2}{z^2}\Big|_{z=1}=2\]

所以

\begin{align*}\int_{|z|=2}\frac{5z-2}{z(z-1)^2}dz&=2\pi i(\text{Res}(f(z),0)+\text{Res}(f(z),1))\\ &=2\pi i(-2+2)=0\end{align*}