无穷远处的留数

无穷远点一般也是函数的奇点,这一节我们讲述如何计算函数在无穷远处的留数。

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1,无穷远处的留数:设 \(f(z)\) 在 \(R<|z|<\infty\) 内解析,则定义无穷远处的留数为

\[\text{Res}(f(z),\infty)=-\frac{1}{2\pi i}\int_{|z|=\rho}f(z)dz\]

这里 \(R<\rho<\infty\)。这样的定义,是因为无穷大在圆\(|z|=\rho\) 的外部,根据区域边界定向的定义,圆\(|z|=\rho\) 的外部区域的边界是 \(|z|=\rho\),它的定向是顺时针。与曲线的定向相反,所以取负号。

2,由上述的定义,我们有

\[\text{Res}(f(z),\infty)=-c_{-1}\]

3,定理: \(f(z)\) 在扩充复平面上的留数之和为 \(0\)。

证明:设 \(z_1,z_2,\cdots,z_n,\infty\) 为函数的孤立奇点,\(|z|=\rho\) 包含 \(z_1,z_2,\cdots,z_n\) 为其内点,由留数定理

\[\int_{|z|=\rho}f(z)dz=2\pi i\sum_{i=1}^n\text{Res}(f(z),z_i)\]

\[\int_{|z|=\rho}f(z)dz=-2\pi i \text{Res}(f(z),\infty)\]

所以

\[\sum_{i=1}^n\text{Res}(f(z),z_i)+\text{Res}(f(z),\infty)=\frac{1}{2\pi i}\int_{|z|=\rho}f(z)dz-\frac{1}{2\pi i}\int_{|z|=\rho}f(z)dz=0\]

证毕。

这个定理可以用来计算奇点较多的时候的积分。因为无穷远处的留数只需要计算一次,而一一计算内部的留数的话,计算量较大。来看例子。

例1,计算积分 \(\displaystyle\int_{|z|=4}\frac{z^{15}}{(z^2+1)^2(z^4+2)^3}dz\)。

解:从函数的表达式,我们知道,被积函数有\(7\) 个孤立奇点,除了 \(\infty\) 以外,其余都在 \(|z|=4\) 的内部,如果一一计算内部奇点留数的话,需要计算 \(6\) 次。如果利用上述的定理,我们只需要计算无穷远处的留数即可。也就是

\[\int_{|z|=4}\frac{z^{15}}{(z^2+1)^2(z^4+2)^2}dz=-2\pi i\text{Res}(f(z),\infty)\]

我们来求被积函数的罗朗展开式(只需要知道 \(c_{-1}\) 即可)。

\begin{align*}\frac{z^{15}}{(z^2+1)^2(z^4+2)^2}&=\frac{z^{15}}{z^4(1+\frac{1}{z^2})^2\cdot z^{12}(1+\frac{2}{z^4})^3}\\ &=\frac{1}{z}\cdot\frac{1}{(1+\frac{1}{z^2})^2}\cdot\frac{1}{(1+\frac{2}{z^4})^3}\end{align*}

因为

\begin{align*}\frac{1}{(1+z)^2}&=-\left(\frac{1}{1+z}\right)’=-(1-z+z^2-z^3+\cdots)’=1-2z+3z^2+\cdots\\ \frac{1}{(1+z)^3}&=-\frac{1}{2}\left(\frac{1}{(1+z)2}\right)’=-\frac{1}{2}(1-2z+3z^2+\cdots)’=1-3z+\cdots\end{align*}

作变量代换,得到

\begin{align*}\frac{1}{(1+\frac{1}{z^2})^2}&=1-2\frac{1}{z^2}+3\frac{1}{z^4}+\cdots\\ \frac{1}{(1+\frac{2}{z^4})^3}&=1-3\frac{2}{z^4}+\cdots\end{align*}

所以

\begin{align*}\frac{1}{z}\cdot\frac{1}{(1+\frac{1}{z^2})^2}\cdot\frac{1}{(1+\frac{2}{z^4})^3}&=\frac{1}{z}\cdot(1-2\frac{1}{z^2}+\cdots)\cdot(1-3z^4+\cdots) \\ &=\frac{1}{z}+\cdots\end{align*}

所在无穷远处的留数为 \(\text{Res}(f(z),\infty)=-c_{-1}=-1\)。由无穷远处留数的定义,

\[\int_{|z|=4}\frac{z^{15}}{(z^2+1)^2(z^4+2)^2}dz=-2\pi i\text{Res}(f(z),\infty)=2\pi i\]