利用留数定理计算定积分(二):无穷区间上有理函数的积分

有理函数在无穷区间上的广义积分,可以利用留数定理来简化计算。

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考虑有理函数的广义积分

\[\int_{-\infty}^{\infty}\frac{P(x)}{Q(x)}dx\]其中 \(P(x),Q(x)\) 都是多项式,\(Q(x)\) 比 \(P(x)\) 至少高两阶。

求法:作半径为 \(R\) 的上半闭圆 \(\Gamma\) 并在其上积分,最后证明在圆周上的积分为 \(0\)。这样求出来的积分是主值积分。

例1,计算积分 \(\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{(1+x^2)^2}dx\)。

解:作闭曲线 \(\Gamma=\Gamma_1+\Gamma_R\),其中 \(\Gamma_1:-R\le x\le R, \Gamma_2L|z|=R, \text{Im}z>0\)。

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考虑 \(\Gamma \) 上的积分

\[\int_{\Gamma}\frac{dz}{(1+z^2)^2}=\int_{\Gamma_1}\frac{dz}{(1+z^2)^2}+\int_{\Gamma_R}\frac{dz}{(1+z^2)^2}\]

\(\frac{1}{(1+z^2)^2}\) 有二级极点 \(\pm i\),在上半平面只有极点 \(i\),由留数定理

\[\int_{\Gamma}\frac{dz}{(1+z^2)^2}=2\pi i\text{Res}(f(z),i)\]

\begin{align*}\text{Res}(f(z),i)&=[(z-i)^2f(z)]’\Big|_{z=i}=\left[\frac{1}{(z+i)^2}\right]’\Big|_{z=i}\\ &=-\frac{2}{(z+i)^3}\Big|_{z=i}=\frac{-2}{-8i}=\frac{1}{4i}\end{align*}

所以

\[\int_{\Gamma}\frac{dz}{(1+z^2)^2}=2\pi i\cdot\frac{1}{4i}=\frac{\pi}{2}\]

现在证明 \(\displaystyle\int_{\Gamma_R}\frac{dz}{(1+z^2)^2}\to 0, R\to\infty\),

\begin{align*}\int_{\Gamma_R}\frac{dz}{(1+z^2)^2}=\int_0^\pi\frac{iRe^{i\theta}d\theta}{(1+R^2e^{2i\theta})^2}\end{align*}

很显然,当 \(R\to\infty\),这个积分 \(\to 0\)。所以我们得到了

\[int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{(1+x^2)^2}dx=\lim_{R\to\infty}\int_{\Gamma_1}\frac{dz}{(1+z^2)^2}+\int_{\Gamma_R}\frac{dz}{(1+z^2)^2}\left(\right)=\frac{\pi}{2}\]