利用留数定理计算定积分(三):有理函数与三角函数之积

利用留数定理可以计算有理函数与三角函数之积在无穷区间上的广义积分。

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现在考虑有理函数与三角函数这积的积分

\[\int_{-\infty}^{\infty}\frac{P(x)}{Q(x)}e^{imx}dx\]

这种函数的积分与前一种积分类似,一般选取上半圆周作为积分路径。在圆周上的积分趋于 \(0\),于是原积分就可以用留数定理求出。当然,这里求出的积分还是积分主值。

例1,计算积分 \(\displaystyle\int_0^{\infty}\frac{\cos x}{x^2+1}dx\)。

解:因为 \(\frac{\cos x}{x^2+1}\) 是偶函数,所以

\[\int_0^{\infty}\frac{\cos x}{x^2+1}dx=\frac{1}{2}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\cos x}{x^2+1}dx\]

因为三角函数可以用指数函数表示,所以考虑函数 \(\frac{e^{iz}}{(1+z^2)}\) 在 \(\Gamma=\Gamma_1+\Gamma_R\) 上的积分,\(\Gamma_1:-R\le x\le R\), \(\Gamma_R:|z|=R, \text{Im}z>0\),

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因为函数 \(\frac{e^{iz}}{(1+z^2)}\) 在上半平面只有一个简单极点 \(z=i\),所以

\[\oint_{\Gamma}\frac{e^{iz}}{(1+z^2)}=2\pi i\text{Res}(f(z),i)\]

留数为

\begin{align*}\text{Res}(f(z),i)&=\lim_{z\to i}(z-i)\frac{e^{iz}}{(z+i)(z-i)}\\ &=\lim_{z\to i}\frac{e^{iz}}{z+i}=\frac{e^{-1}}{2i}\end{align*}

所以

\[\oint_{\Gamma}\frac{e^{iz}}{(1+z^2)}=2\pi i\cdot\frac{e^{-1}}{2i}=\frac{\pi}{e}\]

下一步证明 \(\int_{\Gamma_R}\frac{e^{iz}}{z^2+1}dz\to 0, R\to\infty\),

\begin{align*}\left|\int_{\Gamma_R}\frac{e^{iz}}{z^2+1}dz\right|&\le \frac{1}{R^2-1}\left|\int_{\Gamma_R}e^{ix-y}dz\right|\\&\le \frac{1}{R^2-1}\left|\int_0^{\pi}e^{ix-y}iRe^{i\theta}d\theta\right|\\ &\le \frac{2R}{R^2-1}\int_0^{\frac{\pi}{2}}e^{-y}Rd\theta\\&=\frac{2R}{R^2-1}\int_{\Gamma_R}e^{-R\sin\theta}d\theta\end{align*}

当 \(0\le\theta\le \frac{\pi}{2}\) 时,\(\frac{2}{\pi}\theta\le \sin\theta\le\theta\),这可以从 \(y=\frac{2}{\pi}x, y=\sin x\) 的图形上看得出来。所以

\begin{align*}\frac{2R}{R^2-1}\int_{\Gamma_R}e^{-R\sin\theta}d\theta&\le \frac{2R}{R^2-1}\int_0^{\frac{\pi}{2}}e^{-R\frac{2}{\pi}\theta}d\theta\\ &=\frac{R}{R^2-1}\cdot\left(-\frac{\pi}{2R}\right)\cdot e^{-R\frac{2}{\pi}\theta}\Big|_0^{\frac{\pi}{2}}\\ &=\frac{\pi}{R^2-1}(1-e^{-R})\to 0\end{align*}

所以

\[\int_{-\infty}^{\infty}\frac{e^{ix}}{x^2+1}dx=\frac{\pi}{e}\]

又因为 \(\cos x=\text{Re}e^{ix}\),所以

\begin{align*}\int_0^{\infty}\frac{\cos x}{x^2+1}dx&=\frac{1}{2}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\cos x}{x^2+1}dx\\ &=\frac{1}{2}\text{Re}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{e^{ix}}{x^2+1}dx\\ &=\frac{\pi}{2e}\end{align*}

注意,如果 \(\cos x\) 换成 \(\sin x\),则应取积分值的虚部。