毕卡大定理

本性奇点一个与其它孤立奇点本质的区别就是,本性奇点附近,函数可以取到任何值,每一个值可以取到无穷次。这就是毕卡大定理的结论。

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1,本性奇点的特征:在之前的课程里,我们说明了,若 \(\lim_{z\to a}f(z)\) 既不存在也不是无穷大,则 \(z=a\) 就是函数的本性奇点。

Weirstrass (魏尔斯特拉斯)首先证明了,复变函数在其本性奇点附近,可以趋近于任何值。这就是

2,(Weirstrass)魏尔斯特拉斯定理:若 \(a\) 是函数 \(f(z)\) 的本性奇点,则任给正数 \(\delta>0, \epsilon>0\) 及任意复数 \(A\)(有限或者无限),在 \(0<|z-a|<\delta\) 内有一点 \(z\),使得 \(|f(z)-A|<\epsilon\) 成立。

证明:(1)若 \(A=\infty\),定理正确。因为 \(f(z)\) 在 \(a\) 附近无界。否则, \(z=a\) 就是 \(f(z)\) 的可去奇点。(可去奇点的一个特征就是函数在它附近有界。)

(2)若 \(A\) 为有限数。我们可以用反证法来证明。假设存在有限数 \(A\),使得 \(|f(z)-A|>\epsilon\) 在 \(0<|z-a|<\delta\) 内成立。令 \[F(z)=\frac{f(z)-A}{z-a}\]则 \[\lim_{z\to a}F(z)=\infty\] 因为分子不趋近于 \(0\) 而分母 趋近于 \(0\)。所以 \(z=a\) 为函数 \(F(z)\) 的极点。所以 \(F(z)\) 在 \(z=a\) 附近可以展开成罗朗级数

\[F(z)=c_{-m}(z-a)^{-m}+\cdots+c_{-1}(z-a)^{-1}+c_0+\cdots\]

所以在 \(z=a\) 附近, \(f(z\) 有罗朗级数 \[f(z)=c_{-m}(z-a)^{-m+1}+\cdots+(c_{-1}+A)+c_0(z-a)+\cdots\]

所以 \(z=a\) 是 \(f(z)\) 的极点,这与 \(z=a\) 是 \(f(z)\) 的本性奇点矛盾。证毕!

我们举一个例子,说明函数在本性奇点附近可以趋近于任何值。

例1:设函数 \(f(z)=e^{\frac{1}{z}}\),则 \(z=0\) 是函数的本性奇点。我们说明在 \(z=0\) 附近,函数可以趋近于任何数值。

(1)如果取 \(z=\frac{1}{n}\),则 \(e^{\frac{1}{z}}=e^n\to \infty\);

(2)如果取 \(z=-\frac{1}{n}\),则 \(e^{\frac{1}{z}}=e^{-n}\to 0\);

(3)若 \(A\) 为任何不为 \(0\) 的有限值,我们可以用解方程的方法证明函数值可以趋近于 \(A\)。因为要求 \(e^{\frac{1}{z}}=A\),我们可以在两边取对数

\[\frac{1}{z}=\text{Ln}A=\ln A+2k\pi i, \quad i=0,\pm 1,\pm 2,\cdots\]

所以取 \[z_k=\frac{1}{\ln A+2k\pi i}\]那么 \(k\to\infty\) 时,\(z_k\to 0\) 并且 \(e^{\frac{1}{z_k}}\to A\)。

Weirstrass 定理后来被毕卡给出了更严密的结果,称为毕卡(大)定理:

2,毕卡(大)定理:若 \(f(z)\) 以 \(z=a\) 为本性奇点,则对于每一个 \(A\ne\infty\) 除可能一个值以外,必有趋近于 \(a\) 的数列 \(\{z_n\}\),使得 \(f(z_n)=A\)。

这个定理说明了,函数在本性奇点附近,不但可以逼近于任何数值(也许有一个例外),而且可以取到任何数值,而取到的次数是无穷多次(函数在整个数列的函数值都是) 。

毕卡对这个定理的原始证明很短,但是用一个叫做“椭圆模函数”的工具,这已经超出了我们这门课的范围。后来也有不少的比较初等的证明,但大部分都很繁复。我们就不涉及了。