极点与本性奇点的特征

我们之前证明了可以用极限来判断一个孤立奇点是不是可去奇点,这一节我们证明也可以利用极限来判断孤立奇点是不是极点或者本性奇点。

事实上,若 \(\lim_{z\to z_0}=\infty\),则 \(z_0\) 是极点;若 \(\lim_{z\to z_0}\) 不存在,也不是无穷大,则 \(z_0\) 是本性奇点。我们还给出了极点的另外两个等价条件。

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1,定理(极点的特征):以下三个条件是等价的

(1)\(f(z)\) 在 \(z=a\) 处的主要部分为

\[c_{-m}(z-a)^{-m}+c_{-m+1}(z-a)^{-m+1}+\cdots+c_{-1}(z-a)^{-1}\]

(2)\(f(z)\) 在点 \(a\) 的去心邻域内可表示成 \[\frac{\phi(z)}{(z-z)^m}\]

其中 \(\phi(z)\ne 0\) 且 \(\phi(z)\) 在点 \(a\) 的邻域内解析;

(3)\(\displaystyle g(z)=\frac{1}{f(z)}\) 以 \(a\) 为 \(m\) 级零点。

证明:(1)\(\Rightarrow\)(2):

\begin{align*}f(z)&=c_{-m}(z-a)^{-m}+c_{-m+1}(z-a)^{-m+1}+\cdots+c_{-1}(z-a)^{-1}+a_0+\cdots\\ &=\frac{1}{(z-a)^{m}}(c_{-m}+c_{-m+1}(z-a)+\cdots+c_{-1}(z-z)^{m-1}+c_0(z-a)^{m}+\cdots)\end{align*}

我们记 \(\phi(z)=c_{-m}+c_{-m+1}(z-a)+\cdots+c_{-1}(z-z)^{m-1}+c_0(z-a)^{m}+\cdots\),则 \(\phi(z)\) 解析且 \(\phi(a)=c_{-m}\ne 0\);

(2)\(\Rightarrow\)(3):\(\phi(z)\ne 0\) 且 \(\phi(z)\) 在点 \(a\) 的邻域内解析,

\begin{align*}f(z)=\frac{\phi(z)}{(z-a)^m},\quad g(z)=\frac{1}{f(z)}=\frac{(z-a)^m}{\phi(z)}\end{align*}

所以 \(a\) 是 \(g(z)\) \(m\) 级零点;

(3)\(\Rightarrow\)(1):\(a\) 是 \(g(z)\) \(m\) 级零点 \(\Rightarrow\) \(g(z)=(z-a)^m\phi(z)\),其中 \(\phi(z)\) 在 \(a\) 的某个领域内解析且 \(\phi(a)\ne0\)。所以

\[f(z)=\frac{1}{g(z)}=\frac{1}{(z-a)^m}\cdot\frac{1}{\phi(z)}\]

因为 \(\phi(z)\) 解析且 \(\phi(a)\ne 0\),所以 \(\frac{1}{\phi(z)}\) 在 \(a\) 附近解析。于是

\begin{align*}&\frac{1}{\phi(z)}=a_0+a_1(z-a)+a_2(z-a)^2+\cdots+a_n(z-a)^n+\cdots\\ &\Rightarrow f(z)=\frac{1}{(z-a)^m}(a_0+a_1(z-a)+\cdots+a_n(z-a)^n+\cdots)\\ &\qquad\qquad =a_0(z-a)^{-m}+a_1(z-a)^{-m+1}+\cdots+a_{m-1}(z-a)^{-1}+a_m+\cdots\end{align*}

所以 \(f(z)\) 的主要部分为

\[a_0(z-a)^{-m}+a_1(z-a)^{-m+1}+\cdots+a_{m-1}(z-a)^{-1}\]

记 \(c_{-m}=a_0, c_{-m+1}=a_1,\cdots, c_{-1}=a_{m-1}\),则 \(f(z)\) 的主要部分为

\[c_{-m}(z-a)^{-m}+c_{-m+1}(z-a)^{-m+1}+\cdots+c_{-1}(z-a)^{-1}\]

证毕。

由上面的证明,我们可以得到下列的

2,推论:\(f(z)\) 以 \(a\) 为 \(m\) 级极点的充分必要条件是

\[\lim_{z\to a}(z-a)^mf(z)=c_{-m}\]

这里 \(c_{-m}\) 为有限数。

例1,设 \(f(z)=\frac{1}{z^2(z+1)}\),求它的极点。

解:因为 \[\lim_{z\to0}z^2f(z)=\lim_{z\to0}\frac{1}{z+1}=1\]所以 \(f(z)\) 以 \(0\) 为它的二级极点;

\[\lim_{z\to-1}(z+1)f(z)=\lim_{z\to-1}(z+1)\cdot\frac{1}{z^2(z+1)}=1\]

所以 \(f(z)\) 以 \(-1\) 为它的简单极点。

3,推论:\(z=a\) 为 \(f(z)\) 的极点的充分必要条件是 \(\displaystyle\lim_{z\to a}f(z)=\infty\)。

关于本性奇点,我们有下列的

4,定理(本性奇点的特征):\(f(z)\) 以 \(a\) 为本性奇点的充分必要条件是 \(\lim_{z\to a}f(z)\) 不存在,也不是无穷大。