整函数与亚纯函数

整函数是全平面解析的函数,而亚纯函数是在全平面除了极点以外,没有别的奇点的的函数。

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1,整函数:若函数 \(f(z)\) 除了 \(\infty\) 外,在整个平面都解析的函数,称为整函数。在平面上任何点处

\[f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}c_nz^n, z\in\mathbb{C}\]

根据整函数在无穷大处的性态,我们可以对整函数进行分类:

(1)\(\infty\) 是整函数 \(f(z)\) 的可去奇点,则 \(f(z)=\)常数(因为没有正指数项);

(2)\(\infty\) 是整函数 \(f(z)\) 的极点 \(\Rightarrow\) \(f(z)=c_0+c_1z+c_2z^2+\cdots+c_mz^m\) 是多项式,因为只有有限项正指数项;

(3)\(\infty\) 是整函数 \(f(z)\) 的本性奇点 \(\Rightarrow\) \(f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}c_nz^n\) 有无穷多项正指数项,这样的整函数称为超越整函数。

2,亚纯函数:若 \(f(z)\) 在除了 \(\infty\) 以外的复平面上,除去有极点(可以为有限个,也可以有无限个)外,处处解析,称 \(f(z)\) 为亚纯函数。一种特殊的亚纯函数——有理函数可以用下列定理刻画。

3,定理:若 \(\infty\) 为亚纯函数的可去奇点或极点,则 \(f(z)\) 为有理函数。

证明:\(f(z)\) 以 \(\infty\) 为可去奇点或者极点,所以存在 \(R>0\) ,使得 \(f(z)\) 在 \(R<|z|<\infty\) 内解析。设 \(f(z)\) 在 \(\infty\) 领域内罗朗展式的主要部分为 \(P(z)\)。则(1)若 \(\infty\) 为可去奇点,则 \(P(z)=0\);(2)若 \(\infty\) 为极点,则 \(P(z)\) 为多项式。

在 \(|z| le R\) 内,\(f(z)\) 只能有有限个极点,若不然, \(f(z)\) 有无穷个极点 \(z_1,z_2,\cdots\),由 Bolzano-Weirstrass 定理,\(z_1,z_2,\cdots\) 有一个聚点 \(z_0\),它在 \(|z|\le R\) 内,所以 \(z_0\) 就不是孤立奇点,这就与 \(f(z)\) 只有极点矛盾。

所以 \(f(z)\) 在\(|z|<R\) 内只有有限个极点, 记为 \(z_1,z_2,\cdots,z_k\)。

在 \(z_i\) 的领域内, \(f(z)\) 的主要部分为

\[\phi(z)=\frac{c_{-1}^{(i)}}{z-z_i}+\frac{c_{-2}^{(i)}}{(z-z_i)^2}+\cdots+\frac{c_{-m}^{(i)}}{(z-z_i)^m}\]

记 \(F(z)=f(z)-P(z)-\sum_{i=1}^{k}\phi_i(z)\),那么 \(F(z)\) 在除去 \(z_1,z_2,\cdots,z_k,\infty\) 外的复平面上解析,且 \(z_1,z_2,\cdots,z_k,\infty\) 都是 \(F(z)\) 的可去奇点。 这是因为

\[\lim_{z\to z_i}F(z)=\lim_{z\to z_i}\left[(f(z)-\phi_i(z))-(P(z)+\sum_{m\ne i}\phi_m(z))\right]\]

存在且有限,所以 \(z_i\) 是 \(F(z)\) 的可去奇点,\(i=1,2,\cdots, k\)。又

\[\lim_{z\to \infty}F(z)=\lim_{z\to z_i}\left[(f(z)-P(z))-\sum_{i=1}^k\phi_i(z))\right]\]存在且有限,所以 \(\infty\) 也是 \(F(z)\) 的可去奇点。

由 Liouville 定理, \(F(z)=C\),所以

\[f(z)=F(z)+P(z)+\sum_{i=1}^k\phi_i(z)\]为有理函数。这里 \(F(z)\) 为常数,\(P(z)\) 为多项式,\(\phi_i(z), i=1,2,\cdots,k\) 为有理函数,所以 \(f(z)\) 为有理函数。