孤立奇点的类型

复变函数的奇点,最简单的是一种是孤立奇点,函数在除去这个点外的某个圆环内解析。或者函数在这里附近可以展开成罗朗级数。根据函数在这点的罗朗级数的形式,我们将孤立奇点分成三种类型:可去奇点、极点和本性奇点。

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1,可去奇点:如果函数的罗朗展式只有解析部分,没有主要部分,那么这个奇点称为可去奇点。我们可以通过重新定义函数在这点的值 \(f(z_0)=c_0\),函数在这一点就是解析的了。

例如,函数 \(\frac{\sin z}{z}\) 在 \(0\) 点处的罗朗展式为

\[\frac{\sin z}{z}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^nz^{n-1}}{(2n+1)!}=1-\frac{z^2}{3!}+\frac{z^4}{5!}+\cdots\]我们看到,函数的罗朗展式,g只有解析部分(正指数),没有主要部分,所以 \(0\) 是这个函数的可去奇点。可以重新定义函数为 \[f(z)=\begin{cases}\frac{\sin z}{z},\quad& z\ne 0\\ 1,&z=0\end{cases}\] 那么函数在 \(0\) 就是解析的了。

2,极点:如果函数的罗朗展式的主要部分有有限项,我们称这个点为函数的极点。负指数的最高阶 \(\-m) 称为极点的阶,我们称这个极点为 \(m\) 阶极点。\(m=1\) 时,称为简单极点。

例如,\[\frac{\cos z}{z^3}=\frac{1}{z^3}-\frac{1}{2!}\frac{1}{z}+\frac{z}{4!}+\cdots\]所以 \(0\) 是三阶极点。

3,本性奇点:若函数的罗朗展式有无限项,这样的奇点称为函数的本性奇点。

例如:\[e^{\frac{1}{z}}=\sem_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}\frac{1}{z^n}=1+\frac{1}{z}+\frac{1}{2!}\cdot\frac{1}{z^2}+\cdots\]

所以 \(0\) 是它的本性奇点。