函数在无穷远处的性质

我们之前所考虑的孤立奇点,都是有限数的情形。现在我们考虑函数在无穷远处的情形。

笔记下载:函数在无穷远处的性质

1,变换 \(\xi=\frac{1}{z}\):研究无穷远处的孤立奇点,我们做一个变换 \(\xi=\frac{1}{z}\) 将 \(z\) 在无穷远处的领域转换成 \(\xi\) 在 \(0\) 点的领域,这是比较方便的做法。

我们令 \(g(\xi)=f(\frac{1}{\xi})=f(z)\),则 \(f(z)\) 在无穷远处的奇点类型定义为 \(g(\xi)\) 在\(0\) 点处的奇点类型。

(1)若 \(g(\xi)\) 在 \(0\) 点处是解析的,我们称 \(f(z)\) 在 \(\infty\) 是解析的;

(2)若 \(g(\xi)\) 以 \(0\) 为可去奇点,我们称 \(f(z)\) 以 \(\infty\) 为可去奇点;

(3)若 \(g(\xi)\) 以 \(0\) 为极点,我们称 \(f(z)\) 以 \(\infty\) 为极点;

(4)若 \(g(\xi)\) 以 \(0\) 为本性奇点,我们称 \(f(z)\) 以 \(\infty\) 为本性奇点。

例1:函数 \(f(z)=1+z^2\),作变换 \(\xi=\frac{1}{z}\),则 \(g(\xi)=f(\frac{1}{\xi})=1+\frac{1}{\xi^2}\) 以 \(0\) 为二级极点,则 \(f(z)\) 以 \(\infty\) 为二级极点。

设函数 \(f(z)=e^z\),我们令 \(g(\xi)=f(\frac{1}{\xi})=e^{\frac{1}{\xi}}\) , 则 \(g(\xi)\) 以 \(0\) 为本性奇点,所以 \(f(z)\) 以 \(\infty\) 为本性奇点。

2,罗朗级数:若 \(f(z)\) 在 \(R<|z|<\infty\) 内解析,则 \(g(\xi)\) 在 \(0<|\xi|<\frac{1}{R}\) 内解析,设 \(g(\xi)\) 的罗朗级数为 \[g(\xi)=\sum_{n=1}^{\infty}c_{-n}\xi^{-n}+\sum_{n=0}^{\infty}c_n\xi^n\]则 \(f(z)\) 的罗朗级数为 \[f(z)=\sum_{n=1}^{\infty}c_{-n}z^n+\sum_{n=0}^{\infty}\frac{c_n}{z^n}\]

所以我们有结论:

(1)若 \(\infty\) 为 \(f(z)\) 的可去奇点,则\[f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{c_n}{z^n};\]

也就是说罗朗级数只有负指数项与常数项;

(2)若 \(\infty\) 为 \(f(z)\) 的极点,则\[f(z)=c_{-m}z^m+\cdots+c_{-1}z+\sum_{n=0}^{\infty}\frac{c_n}{z^n};\]

正指数项只有有限项;

(3)若 \(\infty\) 为 \(f(z)\) 的本性奇点,则\[f(z)=\sum_{n=1}^{\infty}c_{-n}z^n+\sum_{n=0}^{\infty}\frac{c_n}{z^n}.\]

正指数项有无穷多项。

例2,\(f(z)=\frac{z}{1+z}\) 在 \(1<|z|<\infty\) 内解析,

\[f(z)=\frac{z}{1+z}=\frac{1}{1+\frac{1}{z}}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\left(\frac{1}{z}\right)^n\]

罗朗级数只有负指数项与常数项,所以 \(\infty\) 是函数的可去奇点。

例3,确定 \(f(z)=\sin z\) 在无穷远处奇点的类型。

解:因为

\[f(z)=z-\frac{z^3}{3!}+\frac{z^5}{5!}+\cdots+\frac{(-1)^nz^{2n+1}}{(2n+1)!}+\cdots=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^nz^{2n+1}}{(2n+1)!}\]

正指数项有无穷多项,所以 \(\infty\) 是函数的本性奇点。