绝对收敛与条件收敛

复级数也可以定义绝对收敛与条件收敛。若级数 \(\sum_{n=1}^{\infty}|z_n|\) 收敛,我们就称级数 \( \sum_{n=1}^{\infty}z_n\) 绝对收敛。绝对收敛的级数,本身是收敛的,我们稍后证明这一结论。如果级数本身收敛但不是绝对收敛,我们称它为条件收敛级数。

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我们现在来证明,绝对收敛的级数是收敛的。也就是

定理1:若 \(\sum_{n=1}^{\infty}|z_n|\) 收敛,则级数\( \sum_{n=1}^{\infty}z_n\) 收敛。

证明:我们记 \(z_n=x_n+iy_n\),则 \(|z_n|=\sqrt{x_n^2+y_n^2}\),所以 \(|x_n|\le |z_n|, |y_n|\le |z_n|\),由正项级数的比较判别法, 若 \(\sum_{n=1}^{\infty}|z_n|\) 收敛 ,则 \(\sum_{n=1}^{\infty}|x_n|\) 和 \(\sum_{n=1}^{\infty}|y_n|\) 都收敛。所以 \(\sum_{n=1}^{\infty}x_n\) 和 \(\sum_{n=1}^{\infty}y_n\) 都绝对收敛,因而是收敛的。

由上一节我们讲过的,复级数收敛的充分必要条件是实部与虚部所组成的级数都收敛,所以由 \(\sum_{n=1}^{\infty}x_n\) 和 \(\sum_{n=1}^{\infty}y_n\) 都收敛,我们知道 \( \sum_{n=1}^{\infty}z_n\) 收敛 。证明完毕。

我们从上面的证明可以看到,复级数绝对收敛,那么它的实部与虚部所组的级数都绝对收敛,其实反过来也对,即如果一个复级数的实部与虚部所组成的级数都绝对收敛,那么复级数本身也是绝对收敛的。我们来证明这一结论。

定理2:级数 \( \sum_{n=1}^{\infty}z_n\) 绝对收敛的充分必要条件是 级数 \(\sum_{n=1}^{\infty}x_n\) 和 \(\sum_{n=1}^{\infty}y_n\) 都绝对收敛 。

证明:必要性我们已经证明了,现在我们来证明充分性。也就是说若 \(\sum_{n=1}^{\infty}x_n\) 和 \(\sum_{n=1}^{\infty}y_n\) 都绝对收敛 ,则 级数 \( \sum_{n=1}^{\infty}z_n\) 绝对收敛 。

因为 \(|z_n|=\sqrt{x_n^2+y_n^2}\le |x_n|+|y_n|\),所以由比较判别法 \[\sum_{n=1}^{\infty}|z_k|\le \sum_{k=1}^{\infty}|x_n|+|y_n|=\sum_{n=1}^{\infty}|x_n|+\sum_{n=1}^{\infty}|y_n|\]知道, \( \sum_{n=1}^{\infty}|z_n|\) 收敛。

因为 \( \sum_{n=1}^{\infty}|z_n|\) 是普通的正项级数,所以正项级数的理论都可以用在这里。如果要判断一个复级数是否为绝对收敛,就可以利用正项级数的收敛判别法,例如比较判别法,比值判别法,根值判别法等等。