幂级数的逐项求导与求积分

这节我们证明:幂级数在其收敛圆内可以逐项求导与求积。

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我们就函数的幂级数 \(f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}a_nz^n\) 来证明逐项求导与逐项求积分运算可以在其收敛圆内部进行。我们先对逐项积分建立一般性的理论。

1,定理(逐项积分):设 \(C\) 为级数 \(\sum_{n=0}^{\infty}a_nz^n\) 收敛圆内 \(|z|<R\) 的一条可求长曲线,\(g(z)\) 为在 \(C\) 上连续的函数,则 \[\int_Cg(z)f(z)dz=\sum_{n=0}^{\infty}a_n\int_Cg(z)z^ndz,\quad |z|<R\]

证明:因为 \(f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}a_nz^n\),所以 \[g(z)f(z)=\sum_{n=1}^{N-1}a_ng(z)z^n+g(z)R_N(z)\] 这里 \(R_N(z)=\sum_{n=N}^{\infty}z_nz^n\) 是级数 \(f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}a_nz^n\) 的余项。两边积分,我们有\[\int_Cg(z)f(z)dz=\sum_{n=1}^{N-1}a_n\int_Cg(z)z^n+\int_Cg(z)R_N(z)dz\] 我们来证明余项 \(\int_Cg(z)R_N(z)dz\) 趋于 \(0\)。因为 \(g(z)\) 在 \(C\) 上连续,所以在 \(C\) 上, \(|g(z)|\le M\),从而 \[|\int_Cg(z)R_N(z)dz|\le M\cdot|R_N(z)|\cdot l\]其中 \(l\) 为 \(C\) 的长度。因为当 \(N\) 足够大时, \(|R_N(z)|\) 趋于 \(0\),所以 \(|\int_Cg(z)R_N(z)dz|\) 也趋于 \(0\)。又因为 \(C\) 是 \(|z|<R \) 内任意一条可求长曲线,所以\[\int_Cg(z)f(z)dx=\sum_{n=0}^{\infty}a_n\int_Cg(z)z^ndz,\quad |z|<R\]

2,定理(逐项求导):设 \(f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}a_nz^n, |z|<R\),则在 \(|z|<R\) 内,\(f(z)\) 可逐项求导,即 \[f'(z)=\sum_{n=1}^{\infty}na_nz^{n-1}\]

证明:在上一个定理中,我们取 \(C\) 为 \(|z|<R\) 内任意一条包含 \(z\) 的简单闭曲线,\(g(s)=\frac{1}{2\pi i}\cdot\frac{1}{(s-z)^2}\),那么\[\int_Cg(s)f(s)ds=\frac{1}{2\pi i}\int_C\frac{f(s)}{(s-z)^2}ds=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{2\pi i}a_n\int_C\frac{ s^n}{(s-z)^2}ds\]

由柯西积分的推论,关于函数高阶导数的公式, 等式中间的项,

\[\frac{1}{2\pi i}\int_C\frac{f(s)}{(s-z)^2}ds=f'(z)\]而右边和式里的项,

\[\frac{1}{2\pi i}a_n\int_C\frac{ s^n}{(s-z)^2}ds=\begin{cases}na_nz^{n-1}, \quad &n\ge 2\\ 0,&n=1\end{cases}\]又因为 \[\lim_{n\to\infty}\frac{(n+1)a_n}{na_{n-1}}=\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}\] 所以 \(\sum_{n=0}^{\infty}a_nz^n\) 与 \(\sum_{n=1}^{\infty}na_{n}z^{n-1}\) 具有相同的收敛半径。所以 \[f'(z)=\sum_{n=1}^{\infty}na_nz^{n-1},\quad |z|<R\]