复数列与复级数

复数列是指一列无穷多个复数 \(z_1,z_2, z_3,\cdots, z_n,\cdots\),我们记为 \(\{z_n\}\),而复的无穷级数是一列无穷个数之和 \( z_1+z_2+ z_3+\cdots+ z_n+\cdots=\sum_{n=1}^{\infty}z_n \)。

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对于复数列,我们定义它的收敛为:对于任意的 \(\epsilon>0\),存在 \(N>0\),使得当 \(n>N\) 时,\(|z_n-A|<\epsilon\)成立,我们就称数列 \(\{z_n\}\) 收敛到 \(A\) ,记为 \(\lim_{n\to\infty}z_n=A\)。这里的 \(A\) 是一个复数。

复级数 \(\sum_{n=1}^{\infty}z_n\) 收敛我们定义为它的部分和数列 \(s_n=\sum_{k=1}^{n}z_k\) 收敛。

对于复数列和复级数的收敛,我们有这样的结论:复数列收敛的充分必要条件为它的实部和虚部所组成的数列都收敛。复级数收敛的充分必要条件为它的实部与虚部所组成的级数都收敛。现在我们来证明这两个结论。

定理1:记 \(z_n=x_n+iy_n\),则复数列 \(\{z_n\}\) 收敛到 \(z=x+iy\) 的充分必要条件为数列 \(\{x_n\}\) 与 \(\{y_n\}\)都收敛且 \(\lim_{n\to\infty}x_n=x, \lim_{n\to\infty}y_n=y\)。

证明:我们先证明必要性。如果 \(\{z_n\}\)收敛,则对任意 \(\epsilon>0\),存在 \(N>0\),使得当 \(n>N\) 时,\(|z_n-z|<\epsilon\) 成立。即

\[|x_n+iy_n-(x+iy)|<\epsilon\]

而 \[ |x_n+iy_n-(x+iy)| =|(x_n-x)+i(y_n-y)|=\sqrt{(x_n-x)^2+(y_n-y)^2}\] 所以\[| x_n-x |<|z_n-z|<\epsilon, | y_n-y |<| z_n-z |<\epsilon\]从而我们知道 \(\{x_n\}\) 收敛到 \(x\), \(\{y_n\}\) 收敛到 \(y\)。

现在来证明充分性。设 \(\{x_n\}\) 收敛到 \(x\), \(\{y_n\}\) 收敛到 \(y\) 。那么对于任意 \(\epsilon>0\),存在 \(N_1>0, N_2>0\),当 \(n>N_1\) 时, \(|x_n-x|<\frac{\epsilon}{2}\),当 \(n>N_2\) 时,\(|y_n-y|< \frac{\epsilon}{2} \)。取 \(N=\max\{N_1,N_2\}\),则当 \(n>N\) 时, \(|x_n-x|<\frac{\epsilon}{2}\) 和 \(|y_n-y|< \frac{\epsilon}{2} \)都成立。

所以当 \(n>N\) 时,

\[|z_n-z|=|(x_n+iy_n)-(x+iy)|=|(x_n-x)+i(y_n-y)|\le |x_n-x|+|y_n-y|< \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2} =\epsilon\]成立,所以 \[\lim_{n\to\infty}z_n=z\]证明完毕。

定理2: 记 \(z_n=x_n+iy_n\),则复级数 \(\sum_{n=1}^{\infty}z_n\) 收敛的充分必要条件为级数 \(\sum_{n=1}^{\infty}x_n\) 与 \(\sum_{n=1}^{\infty}y_n\)都收敛。

证明:我们将定理1应用于部分和数列 \(s_n=\sum_{k=1}^{n}z_k\) 即可。

我们来看两个例子。

例1:设 \(z_n=\frac{1+ni}{1-ni}\), 问 \(\{z_n\}\) 是否收敛?

解:因为 \[ \frac{1+ni}{1-ni} =\frac{(1+ni)(1+ni)}{(1-ni)(1+ni)}=\frac{1-n^2+2ni}{1+n^2}=\frac{ 1-n^2 }{ 1+n^2 }+i\frac{2n}{ 1+n^2 }\]因为

\[\lim_{n\to\infty}\frac{ 1-n^2 }{ 1+n^2 }=-1,\quad \lim_{n\to\infty} \frac{2n}{ 1+n^2 } =0 \]所以原数列 的实部与虚部所组成的数列都收敛,所以数列 \(z_n=\frac{1+ni}{1-ni}\) 收敛。

例2:问级数 \[\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}+\frac{i}{2^n}\]是否收敛?

解:因为由实部所组成的级数 \(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\) 是调和级数,它是发散的,所以原级数 \[\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}+\frac{i}{2^n}\] 发散。