复幂级数的性质与收敛半径

与普通的幂级数一样,我们可以定义复幂级数的收敛半径。由绝对收敛级数的定义与性质,我们可以利用实函数的比值判别法与根值判别法来求复幂级数的收敛半径。

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我们考虑幂级数:\(\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}c_nz^n\) 或者 \(\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}c_n(z-z_0)^n\),我们首先有下述的定理

1,定理:若级数 \(\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}c_nz^n\) 在 \(z=z_1\) 处收敛,则级数在圆 \(|z|<|z_1| \) 内绝对收敛。

证明:若 \(\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}c_nz_1^n\) 收敛,则由收敛级数的性质

\[|c_nz_1^n|\le M\]

若 \(|z|<|z_1|\),则 \(\left|\frac{z}{z_1}\right|=\rho<1\),从而

\begin{align*}|c_nz^n|=\left|c_nz_1^n\right|\left|\frac{z}{z_1}\right|\le M\rho^n\end{align*}

因为 \(\displaystyle\sum_{n=0}M\rho^n\) 收敛,所以 \(\sum_{n=0}^{\infty}|c_nz^n|\) 收敛。也就是说 \(\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}c_nz^n\) 绝对收敛。

将上面的定理稍微修改一下,就有

2,定理:若级数 \(\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}c_n(z-z_0)^n\) 在 \(z=z_1\) 处收敛,则级数在圆 \(|z-z_0|<|z_1-z_0| \) 内绝对收敛。

3,推论:若级数 \(\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}c_nz^n\) 在 \(z=z_1\) 处发散,则级数在圆 \(|z|>|z_1| \) 处发散。

4,收敛半径:存在数 \(R\),级数\(\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}c_nz^n\) 在 \(|z|<R\) 内收敛,在 \(|z|>R\) 发散,我们称 \(R\) 为级数的收敛半径。

对于一般的泰勒级数,若级数\(\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}c_n(z-z_0)^n\) 在 \(|z-z_0|<R\) 内收敛,在 \(|z-z_0|>R\) 发散,称 \(R\) 为级数的收敛半径。

5,收敛半径的求法:可以应用比值判别法或者根值判别法来求收敛半径。

(1)比值判别法:

\[\displaystyle R=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n}}{a_{n+1}}\right|\]

(2)用根值判别法:

\[\displaystyle R=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{\sqrt[n]{\left|a_n\right|}}\]

\(|z|<R\) 或者 \(|z-z_0|<R\) 为收敛圆,\(R\) 为收敛半径。

例1,求级数 \(\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^n}{n^2}\) 的收敛半径与收敛圆。

解:因为

\begin{align*}R&=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_n}{a_n+1}\right|=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n^2}\Big/\frac{1}{(n+1)^2}=1\end{align*}

所以收敛半径为 \(R=1\),收敛圆为 \(|z|<1\)。

例2,求级数 \(\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^n}{n!}\) 的收敛半径。

解:收敛半径为

\[\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_n}{a_n+1}\right|=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n!}\Big/\frac{1}{(n+1)!}=\lim_{n\to\infty}(n+1)=\infty\]

所以,收敛半径为 \(R=\infty\)。