复变函数的泰勒级数

如果一个复变函数在某个区域内是解析的,那么它就可以展开成泰勒级数。复变函数的泰勒级数在形式上与实函数的泰勒级数是一样的。即\[f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(z_0)}{n!}(z-z_0)^n\]

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这一节的内容,我们证明泰勒公式,下一节里再举例说明如何求复变函数的泰勒级数。

我们的核心是如下的泰勒级数的定理:

定理:设函数 \(f(z)\) 在以 \(z_0\) 为圆心, \(R\) 为半径的圆内解析,则 \(f(z)\) 在圆 \(|z-z_0|<R\) 内可展开成泰勒级数\[f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(z_0)}{n!}(z-z_0)^n,\quad |z-z_0|<R.\]

证明:我们先证明 \(z_0=0\) 的情形,然后通过平移,可以证明它在一般的圆上也是成立的。

(i) 设 \(z_0=0\),我们选取包含 \(z\) 的圆 \(C:|z|=R_1, R_1<R\), 由柯西积分公式,

\[f(z)=\frac{1}{2\pi i}\oint_C\frac{f(s)}{s-z}ds\]

因为 \[1+z+z^2+\cdots+z^{n}=\frac{1-z^{n+1}}{1-z},\] 所以\[\frac{1}{1-z}=1+z+z^2+\cdots+z^n+\frac{z^{n+1}}{1-z}.\] 应用这个公式,我们有\[\frac{1}{s-z}=\frac{1}{s}\cdot\frac{1}{1-\frac{z}{s}}=\frac{1}{s}\left(1+\frac{z}{s}+\left(\frac{z}{s}\right)^2+\cdots\left(\frac{z}{s}\right)^n+\left(\frac{z}{s}\right)^n\cdot\frac{z}{s-z}\right)\]

将上式代入到前面的积分里面去,我们有

\[\begin{align*}f(z)&=\frac{1}{2\pi i}\oint_C\frac{f(s)}{s-z}ds\\ &=\frac{1}{2\pi i}\oint_C\frac{1}{s}\left(1+\frac{z}{s}+\left(\frac{z}{s}\right)^2+\cdots\left(\frac{z}{s}\right)^n+\left(\frac{z}{s}\right)^n\cdot\frac{z}{s-z}\right)f(s)ds\\ &=\frac{1}{2\pi i}\oint_C\left(\frac{f(s)}{s}+\frac{f(s)}{s^2}z+\frac{f(s)}{s^3}z^2+\cdots+\frac{f(s)}{s^{n+1}}z^n+\frac{z^{n+1}}{s^{n+1}}\frac{f(s)}{s-z}\right)ds\\ &=f(0)+f'(0)z+\frac{f^{\prime\prime}(0)}{2!}z^2+\cdots+\frac{f^{(n)}(0)}{n!}+\frac{1}{2\pi i}\oint_C\frac{z^{n+1}}{s^{n+1}}\frac{f(s)}{s-z}ds\\&=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}z^n+R_n(z)\end{align*}\]

这里 \(R_n(z)=\frac{1}{2\pi i}\oint_C\frac{z^{n+1}}{s^{n+1}}\frac{f(s)}{s-z}ds\)。现在我们证明这个积分趋近于 \(0\)。

因为 \[\begin{align*}|R_n(z)|&=|\frac{1}{2\pi i}\oint_C\frac{z^{n+1}}{s^{n+1}}\frac{f(s)}{s-z}ds|\\ &\le \frac{1}{2\pi}\cdot|\frac{z^{n+1}}{s^{n+1}}|\cdot |\frac{1}{s-z}|M\cdot 2\pi\\ &=\frac{q^{n+1}M}{|s-z|}\end{align*}\]

这里 \(q=|\frac{z}{s}|<1, M=\max_{s\in C}|f(s)|\)。当 \(n\to\infty\) 时, \(q\to0\),所以 \(R_n(z)\to 0, n\to\infty\)。从而

\[f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}z^n.\]

现在我们转到 \(z_0\ne 0\)。

(ii)我们设 \(f(z)\)在以 \(z_0\) 为圆心,\(R\) 为半径的圆内解析。令 \(g(z)=f(z+z_0)\),那么 \(g(z)\) 在 \(|z+z_0-z_0|=|z|<R\) 的圆内解析,由前面所证的

\[g(z)=f(z+z_0)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{g^{(n)}(0)}{n!}z^n\]将 \(z+z_0\) 换成 \(z\),就得到了\[f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(z_0)}{n!}(z-z_0)^n\]证毕!

上面的定理可以叙述成一般的形式:

定理’:设函数 \(f(z)\) 在区域 \(D\) 内解析,\(R\) 为 \(z_0\) 到 \(D\) 的边界的最近距离,则在圆 \(B_R:|z-z_0|<R\) 内,函数 \(f(z)\) 可展开成泰勒级数\[f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(z_0)}{n!}(z-z_0)^n,\quad |z-z_0|<R\] 这里的 \(R\) 称为级数的收敛半径。