一致收敛的级数

跟数学分析一样,我们可以定义函数序列和级数的一致收敛性。一致收敛的复函数序列和复级数有着与实函数差不多的性质。

笔记下载:一致收敛的级数

1,一致收敛的函数列:我们说一个复函数序列 \(\{f_n(z)\}\) 在集合 \(E\subset \mathbb{C}\) 上一致收敛到 \(f(z)\),意思是说,对任何的 \(\epsilon>0\),存在一个不依赖于 \(z\),只依赖于 \(\epsilon\) 的 \(n_0\),使得当 \(n>n_0\) 时,不等式 \(|f(z)-f_n(z)\) 都成立。

对于一致收敛的函数列, 我们有下述的定理:

2,定理:一致收敛的连续函数列,其极限函数也是连续的。即若 \(\{f_n(z)\}\) 一致收敛到 \(f(z)\),且 \(f_n(z), n=1,2,\cdots\)都连续,则 \(f(z)\) 也是连续的。

它的证明与实函数一样,我们略过。

判断一个函数列是否为一致收敛,基本的方法是柯西收敛准则。

3,柯西收敛准则:\(\{f_n(z)\}\) 在集合 \(E\subset\mathbb{C}\) 上一致收敛的充分必要条件是:对任何的 \(\epsilon>0\) ,存在只依赖于 \(\epsilon\),不依赖于 \(z\) 的 \(n_0\),使得当 \(m,n>n_0\)时,\[|f_m(z)-f_n(z)|<\epsilon\]成立。

因为级数的收敛性是由它的部分和序列来定义的,所以我们将函数列改成部分和序列,就得到了级数的一致收敛性定义。

4,一致收敛的级数:若在集合 \(E\subset\mathbb{C}\) 上有函数 \(f(z)\),使得对任何的 \(\epsilon>0\),存在一个不依赖于 \(z\),只依赖于 \(\epsilon\) 的 \(n_0\),使得当 \(n>n_0\) 时,不等式 \(|f(z)-S_n(z)\) 都成立,我们称级数 \(\sum_{n=1}^{\infty}f_n(z)\) 一致收敛到 \(f(z)\)。这里 \(S_n(z)\) 是级数 \(\sum_{n=1}^{\infty}f_n(z)\) 的部分和序列。

对于复级数来说,我们也有一致收敛的柯西准则。

5,级数一致收敛的柯西准则:在集合 \(E\subset\mathbb{C}\),若对任何的 \(\epsilon>0\) ,存在只依赖于 \(\epsilon\),不依赖于 \(z\) 的 \(n_0\),使得当 \(m,n>n_0\)时,\[|f_m(z)+f_{m+1}(z)+\cdots+f_n(z)|<\epsilon\]成立,则级数 \(\sum_{n=1}^{\infty}f_n(z)\) 一致收敛。

由柯西收敛准则,我们可以得到重要的 Weierstrass 判别法。

6,Weierstrass 判别法:设级数在集合 \(E\subset\mathbb{C}\) 上定义,\(\sum_{n=1}^{\infty}a_n\) 为一正项级数,若存在 \(n_0\),使得当 \(n>n_0\)时, \(|f_n(z)|\le a_n\) 都成立。如果 \(\sum_{n=1}^{\infty}a_n\) 收敛,则 \(\sum_{n=1}^{\infty}f_n(z)\) 一致收敛。

这里正项级数 \(\sum_{n=1}^{\infty}a_n\) 称为函数项级数 \(\sum_{n=1}^{\infty}f_n(z)\) 的优级数。

证明:因为函数项级数的余项满足 \[\sum_{k=n+1}^{\infty}f_k(z)\le \sum_{k=n+1}^{\infty}z_k\]因为正项级数\(\sum_{n=1}^{\infty}a_n\) 收敛,所以它的余项趋于 \(0\),也就是说,对任何 \(\epsilon>0\),存在 \(n_0\),使得当 \(n>n_0\) 时, \( \sum_{k=n+1}^{\infty}z_k<\epsilon\) 成立。从而 \[\sum_{k=n+1}^{\infty}f_k(z)<\epsilon\] 成立。所以级数 \(\sum_{n=1}^{\infty}f_n(z)\) 一致收敛。

现在我们可以证明幂级数的一致收敛性了。

7,定理(幂级数的一致收敛性):设幂级数 \(\sum_{n=0}^{\infty}a_nz^n\) 的收敛半径为 \(R\),则在圆 \(|z|\le \rho, (\rho<R)\) 内,此级数一致收敛。

证明:我们可以应用 Weierstrass 判别法来证明。

因为 \(\sum_{n=0}^{\infty}a_nz^n\) 在 \(|z|<R\) 内收敛,则对于 \(\rho<R_1<R\) 的 \(R_1\),级数在 \(|z|=R_1\) 的圆周上收敛。在 \(|z|=R_1\) 上取一点 \(z_1\),那么在闭圆 \(|z|\le \rho\) 内,\[|a_nz^n|=\left|a_nz_1^n\cdot\frac{z^n}{z_1^n}\right|=|a_nz_1^n|\cdot\left|\frac{z^n}{z_1^n}\right|\] 因为 \(\sum_{n=1}^{\infty}a_nz_1^n\) 收敛,所以它的每一项有界,我们设 \(|a_nz_1^n|\le M\),又设 \(\left|\frac{z}{z_1}\right|=q<1\),从而\[|a_nz^n|=|a_nz_1^n|\cdot\left|\frac{z^n}{z_1^n}\right|\le Mq^n\]因为\(\sum_{n=1}^{\infty}Mq^n\)收敛,由 Weierstrass 判别法,级数\(\sum_{n=0}^{\infty}a_nz^n\) 一致收敛。