解析函数的高阶导数

由柯西积分公式,我们可以得到解析函数的高阶导数公式。并且,我们知道,如果函数在一点处解析,那么函数在该点无限次可微。也就是说,函数在一点处有一阶导数,则可保证在函数该点无穷次可微。

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1,定理(解析函数的高阶导数):若 \(f(z)\) 在简单闭曲线 \(C\) 内解析,\(z_0\) 为 \(C\) 内部一点,则

\[f^{(n)}(z_0)=\frac{n!}{2\pi i}\oint_C\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}}dz, n=1,2,\cdots\]

这个定理表明,函数若在一点解析,那么它的所有阶导数都存在。这一个性质是实函数所不具备的。

证明:我们分几步来证明这个公式。

(1)由柯西积分公式

\[f(z_0)\frac{1}{2\pi}=\oint_C\frac{f(z)}{z-z_0}dz,\quad f(z_0+h)=\frac{1}{2\pi}\oint_C\frac{f(z)}{z-(z_0+h)}dz\]

其中 \(|h|\) 足够小,使得 \(z_0+h\) 还位于 \(C\) 内部。

\begin{align*}\frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h}&=\frac{1}{2\pi i h}\oint_C\frac{f(z)}{z-(z_0+h)}dz-\frac{1}{2\pi i h}\oint_C\frac{f(z)}{z-z_0}dz\\ &=\frac{1}{2\pi i h}\oint_C\frac{hf(z)}{(z-z_0)(z-z_0-h)}dz\\ &=\frac{1}{2\pi i }\oint_C\frac{f(z)}{(z-z_0)(z-z_0-h)}dz\end{align*}

所以

\begin{align*}\frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h}&-\frac{1}{2\pi i}\oint_C\frac{f(z)}{(z-z_0)^2}dz\\ &=\frac{1}{2\pi i }\oint_C\frac{f(z)}{(z-z_0)(z-z_0-h)}dz-\frac{1}{2\pi i}\oint_C\frac{f(z)}{(z-z_0)^2}dz\\ &=\frac{1}{2\pi i}\oint_C\frac{(z-z_0)-(z-z_0-h)}{(z-z_0)^2(z-z_0-h)}f(z)dz\\ &=\frac{1}{2\pi i}\oint_C\frac{hf(z)}{(z-z_0)^2(z-z_0-h)}dz\end{align*}

所以若 \(|z-z_0|<d, |z-z_0-h|<d\),\(d\) 为 \(z_0\) 到\(C\) 的最短的距离的一半,也就是说,\(z_0\) 到 \(C\) 的最短距离大于 \(2d\)。则

\begin{align*}\left|\frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h}-\frac{1}{2\pi i}\oint_C\frac{f(z)}{(z-z_0)^2}dz\right|&=\left|\frac{1}{2\pi i}\oint_C\frac{hf(z)}{(z-z_0)^2(z-z_0-h)}dz\right|\\ &\le \frac{|h|}{2\pi}\cdot\frac{ML}{d^3}\end{align*}

其中 \(M\) 是 \(|f(z)|\) 在 \(C\) 上的最大值,\(L\) 为 \(C\) 的长度。

令 \(h\to 0\),就得到

\[\frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h}-\frac{1}{2\pi i}\oint_C\frac{f(z)}{(z-z_0)^2}dz\to 0\]

也就是说

\[f'(z_0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h}=\frac{1}{2\pi i}\oint_C\frac{f(z)}{(z-z_0)^2}dz\]

由此我们证明了 \(n=1\) 时,定理的正确性。

(2)由前一步

\[f'(z_0+h)=\frac{1}{2\pi i}\oint_C\frac{f(z)}{(z-z_0-h)^2}, \quad f'(z_0)=\frac{1}{2\pi i}\oint_C\frac{f(z)}{(z-z_0)^2}dz\]

完全类似于前一步,我们有

\[f^{\prime\prime}(z_0)=\frac{2}{2\pi i}\oint_C\frac{f(z)}{(z-z_0)^3}dz\]

(3)由数学归纳法,完全类似于第一步,可以证明

\[f^{(n)}(z_0)=\frac{n!}{2\pi i}\oint_C\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}}dz, n=1,2,\cdots\]

证毕。

事实上,这个求导公式更可能用来求积分。

例1,求积分 \(\displaystyle\oint_{|z|=1}\frac{\cosh z}{z^4}dz\)。

解:由解析函数的高阶求导公式,

\begin{align*}\oint_{|z|=1}\frac{\cosh z}{z^4}dz&=\frac{2\pi i}{3!}(\cosh z)^{(3)}\Big|_{z=0}\\ &=\frac{2\pi i }{6}\cdot 0=0\end{align*}