莫勒拉(Morera)定理

我们已经知道,区域内的解析函数在区域上的任意一条简单闭曲线上的积分为 \(0\),这是柯西积分定理的结论。而莫勒拉定理的结论就是柯西定理的逆定理。它的结论是:如果函数在区域内连续且沿任意一条区域内的简单闭曲线积分为 \(0\),则函数在区域内解析。

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莫勒样定理的证明比较短,当然不能说这个定理不深刻或者不重要。证明如下:

证明: 我们已经知道,如果函数 \(f(z)\) 在区域 \(D\) 内连续,且沿区域内的任意一条简单闭曲线 \(C\), \(\oint_Cf(z)dz=0\),那么 \(f(z)\)在区域内有原函数 \[F(z)=\int_z_0^zf(z)dz\]

从而 \(F'(z)=f(z)\),由解析函数的高阶导数定理,解析函数的导数也是解析函数,所以 \(f(z)\) 也是解析函数。