积分与路径无关的条件,原函数

复变函数在曲线上的积分与路径无关等价于被积分函数的原函数存在。并且如果 \(f(z)\) 的原函数为 \(F(z)\), 也就是 \(F'(z)=f(z)\), 则\[\int_{z_0}^{z_1}f(z)dx=F(z_1)-F(z_0).\]这跟我们实函数里的微积分基本定理是一致的。

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1,定理:设函数 \(f(z)\) 在区域 \(D\) 上有原函数 \(F(z)\),\(L\) 为 \(D\) 内的一条曲线,起点为 \(z_1\),终点为 \(z_2\),则

\[\int_Lf(z)dz=F(z)\Big|_{z_1}^{z_2}=F(z_2)-F(z_1)\]

我们看到,积分值只与起点与终点有关。这个定理就是说,原函数存在,则积分与路径无关。

证明:设 \(L:z=z(t), z(t_1)=z_1, z(t_2)=z_2\),则在 \(L\) 上,

\[\frac{d}{dt}F(z(t))=F'(z(t))\cdot z'(t)\]

所以

\begin{align*}\int_Lf(z)dz&=\int_{t_1}^{t_2}F'(z(t))\cdot z'(t)dt=F((z(t)))\Big|_{t_1}^{t_2}\\ &=F(z(t_2))-F(z(t_1))=F(z_2)-F(z_1)\end{align*}

这里我们注意到,积分的结果只与起点与终点有关,而与积分的路径无关。

例1,求积分 \(\displaystyle\int_Lz^2dz\),这里 \(L\) 是从原点到 \(1+3i\) 的直线。

解:这个积分我们上一次讲过,那里我们将曲线化成参数方程来做的,这里我们用原函数的方式来做。

因为 \(\displaystyle\left(\frac{1}{3}z^3\right)’=z^2\),所以

\[\int_Lz^2dz=\left(\frac{1}{3}z^3\right)\Big|_0^{1+3i}=\frac{(1+3i)^3}{3}\]

现在我们给出积分与路径无关的充分条件。

2,定理:若 \(f(z)\) 在区域 \(D\) 上解析,则 \(\displaystyle\int_Lf(z)dz\) 与积分路径无关,其中 \(L\) 是 \(D\) 内任意一条曲线。

证明:假设 \(L_1,L_2\) 是 \(D\) 内任意两条连接 \(z_1,z_2\) 两点之间的曲线,

所以 \(L_1\) 的正向与 \(L_2\) 的负向组成一个正向闭曲线,由柯西积分定理,

\[\int_{L_1-L_2}f(z)dz=0\]

所以\[\int_{L_1}f(z)dz-\int_{L_2}f(z)dz=0\quad\Rightarrow\quad \int_{L_1}f(z)dz=\int_{L_2}f(z)dz\]

因为 \(L_1\) 和 \(L_2\) 是 \(D\) 内任意两条曲线,所以积分与路径无关。

4,定理:若 \(f(z)\) 在 \(D\) 内与积分路径无关,且\(f(z)\) 在 \(D\) 内连续,则 \[F(z)=int_{z_0}^zf(z)dz\] 是 \(f(z)\) 的一个原函数。

证明:\begin{align*}F(z+\Delta z)-F(z)&=\int_{z_0}^{z+\Delta z}f(s)ds-\int_{z_0}^{z}f(s)ds\\ &=\int_z^{z+\Delta z}f(s)ds\\ \frac{F(z+\Delta z)-F(z)}{\Delta z}-f(z)&=\frac{1}{\Delta z}\int_z^{z+\Delta z}f(s)ds-f(z)\\ &=\frac{1}{\Delta z}\int_z^{z+\Delta z}(f(s)-f(z))ds\end{align*}

因为 \(f(z)\) 在 \(D\) 内连续,所以对任何的 \(\epsilon>0\),存在 \(\delta>0\),使得 \(|s-z|<\delta\) 时,\(|f(s)-f(z)|<\epsilon\) 成立。

所以当 \(|\Delta z|<\delta \) 时,\(|f(s)-f(z)|<\epsilon\),所以

\begin{align*}\left|\frac{F(z+\Delta z)-F(z)}{\Delta z}-f(z)\right|&=\left|\frac{1}{\Delta z}\int_z^{z+\Delta z}(f(s)-f(z))ds\right|\\ &\le \frac{1}{|\Delta z|}|\Delta z|\cdot\epsilon=\epsilon\end{align*}

也就是说,

\[\lim_{\Delta z\to 0}\frac{F(z+\Delta z)-F(z)}{\Delta z}=f(z)\]

所以 \(\displaystyle F(z)=int_{z_0}^zf(z)dz\) 就是 \(f(z)\) 的原函数。

5,若 \(F(z)\) 与 \(G(z)\) 都是 \(f(z)\) 的原函数,则 \(F(z)-G(z)=C\)。

例2:求积分 \(\displaystyle\int_{-2i}^{2i}\frac{dz}{z}\),辐角 \(-\pi<\text{arg}z<\pi\).

解:这里限定 \(-\pi<\text{arg}z<\pi\),以保证被积函数的原函数存在。\begin{align*}\int_{-2i}^{2i}\frac{dz}{z}&=\ln z\Big|_{-2i}^{2i}=\ln(2i)-\ln(-2i)\\ &=\ln 2+i\frac{\pi}{2}-\ln2-i\left(-\frac{\pi}{2}\right)=\pi i\end{align*}