柯西-古萨定理的证明(二)

这一节我们完成柯西-古萨定理的证明。上一个视频里我们证明了在区域内的任意一个三角形边界上,柯西积分定理是成立的,也就是说,在任意一个三角形边界上,解析函数的积分为\(0\)。这一个视频我们证明定理的第二步和第三步。

第二步先证明在区域内的任意一个多边形边界上,解析函数的积分为\(0\);第三步,我们将此定理推广到区域内的任意简单闭曲线上去。

笔记下载:柯西-古萨定理的证明

第二步,设 \(P\) 是多边形

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将多边形如图用对角线划分成有限多个三角形,在每个三角形上应用前一步的结论,每个三角形上的积分为 \(0\)。沿每一个对角线,积分两次,方向相反,积分正好抵消。只剩下多边形的边上积分。所以

\[\int_Pf(z)dz=0\]

第三步,\(C\) 是 \(R\) 的一条简单闭曲线,则存在 \(G\subset R\),使得 \(C\) 位于 \(G\) 内,从而 \(f(z)\) 在 \(G\) 内一致连续。所以存在 \(\delta=\delta(\epsilon)\),使得当 \(|z-z_0|<\delta\) 时,\(|f(z)-f(z_0)|<\epsilon\) 对任何 \(\epsilon\) 成立。

在 \(C\) 上选取分点 \(z_0,z_1,\cdots,z_n\),依次连接 \(z_0,z_1,\cdots,z_n,z_0\),形成多边形 \(P\),由第二步

\[\int_Pf(z)dz=0\]

现在证明,当 \(|z_i-z_{i-1}|\) 足够小时, \(1\le i\le n\),对任何 \(\epsilon>0\) ,

\[\left|\int_{C}f(z)dz-\int_Gf(zdz\right|<\epsilon\]

令 \(\rho=\text{dist}(C,\partial G)\) 就是 \(C\) 与 \(G\) 的边界的最小距离,则存在 \(\delta_1\),使得 \(|z_1-z_2|<\delta_1\) 时, \(|f(z_1)-f(z_2)|<\frac{\epsilon}{2l}, z_1z_2\in G\),其中 \(l\) 为 \(C\) 的长度。

再令 \(\delta=\min\{\rho,\delta_1\}\),则当 \(C\) 上两点之间的弧长 \(\stackrel{\frown}{z_{i-1}z_i}<\delta\) 时,则 \(P\) 整个位于 \(G\) 内,因为这时候弦长 \(|\overline {z_{i-1}z_i}|<\delta\)。所以

\begin{align*}\left|\int_{C}f(z)dz-\int_Gf(zdz)\right|&=\left|\sum_{i=1}^n\int_{\stackrel{\frown}{z_{i-1}z_i}}f(z)dz-\sum_{i=1}^n\int_{\overline{z_{i-1}z_i}}f(z)dz\right|\\ &\le\sum_{i=1}^n\left|\int_{\stackrel{\frown}{z_{i-1}z_i}}f(z)dz-\int_{\overline{z_{i-1}z_i}}f(z)dz\right| \\ &=\sum_{i=1}^n\left|\int_{\stackrel{\frown}{z_{i-1}z_i}}f(z)dz-f(\xi_i)(z_i-z_{i-1})\right.\\ &\qquad\quad\left.+f(\xi_i)(z_i-z_{i-1})-\int_{\overline{z_{i-1}z_i}}f(z)dz\right|\\ &\le \sum_{i=1}^n\left|\int_{\stackrel{\frown}{z_{i-1}z_i}}f(z)dz-f(\xi_i)(z_i-z_{i-1})\right|\\ &\qquad+\sum_{i=1}^n\left|f(\xi_i)(z_i-z_{i-1})-\int_{\overline{z_{i-1}z_i}}f(z)dz\right|\end{align*}

这里,\(\xi_i\) 是 \(C\) 上任意一个位于 \(z_{i-1}\) 与 \(z_i\) 之间的点。又因为

\[f(\xi_i)(z_i-z_{i-1})=\int_{\overline{z_{i-1}z_i}}f(\xi_i)dz,\quad \]

所以

\begin{align*}\sum_{i=1}^n&\left|\int_{\stackrel{\frown}{z_{i-1}z_i}}f(z)dz-f(\xi_i)(z_i-z_{i-1})\right|+\sum_{i=1}^n\left|f(\xi_i)(z_i-z_{i-1})-\int_{\overline{z_{i-1}z_i}}f(z)dz\right|\\ &=\sum_{i=1}^n\left|\int_{\stackrel{\frown}{z_{i-1}z_i}}(f(z)-f(\xi_i))dz\right|+\sum_{i=1}^n\left|\int_{\overline{z_{i-1}z_i}}(f(z)-f(\xi_i))dz\right|\\ &\le \max_{\stackrel{\frown}{z_{i-1}z_i}}|f(z)-f(\xi_i)|\cdot l+\max_{z\in\overline{z_{i-1}z_i}}\cdot |P|\end{align*}

因为 \[\max_{\stackrel{\frown}{z_{i-1}z_i}}|f(z)-f(\xi_i)|<\frac{\epsilon}{2l},\quad \max_{z\in\overline{z_{i-1}z_i}}\cdot |P|<\frac{\epsilon}{2l}\]

所以

\begin{align*}\left|\int_{C}f(z)dz-\int_Gf(zdz)\right|&<\frac{\epsilon}{2l}\cdot l+\frac{\epsilon}{2l}\cdot\cdot|P|\le \frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon}{2}=\epsilon\end{align*}

令 \(\epsilon\to 0\),就得到了

\[\int_{C}f(z)dz=\int_Pf(z)dz=0\]