柯西-古萨定理的证明(一)

柯西-古萨定理的证明分成三步:第一步,区域上的解析函数在区域内的任意一个三角形边界上积分为 \(0\);第二步, 在区域内的任意多边形上证明此定理;第三步,在区域内的任意一条简单闭曲线上证明此定理。

这一节,我们证明的是第一步,在区域内的任意一个三角形边界上证明此定理。

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1,定理(柯西-古萨定理):设 \(f(z)\) 在区域 \(R\) 上解析, \(C\) 为 \(R\) 内任一简单闭曲线,则

\[\oint_Cf(z)dz=0\]

证明:第一步,证明在任意三角形边界上积分为 \(0\)。

取三角形三边中点,将三点连线成三条直线,将三角形分成四个全等三角形。

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记 \(T\) 为三角形或者它的边界,\(\displaystyle I=\int_Tf(z)dz\), \(I=I_1^1+I_1^2+I_1^3+I_1^4\),下标表示第一次划分,上标表示第几个三角形。

上面四个三角形上的积分中,至少有一个积分的绝对值大于原积分绝对值的 \(\frac{1}{4}\),不妨设第一个积分

\[|I_1^1|\ge \frac{1}{4}|I|, \quad \oint_{T_1}f(z)dz\]

我们再对 \(T_1\) 划分成四个三角形,在这中个三角中,又至少有一个三角形上积分的绝对值大于 \(T_1\) 上积分的绝对值的 \(\frac{1}{4}\);重复进行这样的过程,我们得到一系列的三角形

\[T\supset T_1\supset\cdots\supset T_n\supset\cdots\]

而且

\[I_n=\oint_{T_n}f(z)dz,\quad |I_n|\ge \frac{I}{4^n}\]

若 \(L\) 为 \(T\) 的周长, \(L_n\) 为 \(T_n\) 的周长。

\[L_n=\frac{L}{2^n}\]

由我们前面的划分方式,我们知道 \(T,T_1,T_2,\cdots,T_n,\cdots\) 有一个公共点 \(z_0\)。由假设 \(f(z)\) 在 \(z_0\) 处连续可导,那么给定任意的 \(\epsilon>0\),存在 \(\delta>0\),使得当 \(|z-z_0|<\delta\) 时,

\[|f(z)-f(z_0)-f'(z_0)(z-z_0)|<\epsilon|z-z_0|\]

也就是说,

\[f(z)=f(z_0)+f'(z_0)(z-z_0)+\eta(\epsilon)(z-z_0)\]

其中 \(\lim_{z\to z_0}\eta(\epsilon)=0, \quad |\eta(\epsilon)|<\epsilon\)。取 \(n\) 足够大,使得 \(T_n\) 全部位于 \(|z-z_0|<\delta\) 之内,所以

\begin{align*}I_n&=\oint_{T_n}f(z)dz=\oint_{T_n}f(z_0)dz+\oint_{T_n}f'(z_0)(z-z_0)dz+\oint_{T_n}\eta(\epsilon)(z-z_0)dz\\ &=f(z_0)\oint_{T_n}dz+f'(z_0)\oint_{T_n}(z-z_0)dz+\oint_{T_n}\eta(\epsilon)(z-z_0)dz\\ &=\oint_{T_n}\eta(\epsilon)(z-z_0)dz\end{align*}

前两个积分为 \(0\) 是因为在闭曲线上积分,由平面上的格林公式就知道它们为 \(0\)。

所以

\begin{align*}|I_n|&=\left\oint_{T_n}\oint_{T_n}\eta(\epsilon)(z-z_0)dz\right|\le \frac{L_n}{2}\cdot\epsilon\cdot L_n=\frac{\epsilon}{2}L_n^2\end{align*}

这里 \(|z-z_0|\le\frac{L_n}{2}\) 是因为两个点位于三角形内部,它们的距离显然小于三角形周长的一半。

又因为 \( \frac{1}{4^n}|I|\le |I_n|\),所以

\begin{align*}|I|&\le 4^n|I_n|\le 4^n\cdot\frac{\epsilon}{2}L_n^2\\ &=4^n\cdot\frac{\epsilon}{2}\left(\frac{L}{2^n}\ritht)^2=\frac{\epsilon}{2}L^2\end{align*}

令 \(\epsilon\to 0\),我们得到 \(|I|=0\),所以

\[\oint_Tf(z)dz=0\]这样我们证明了在任意一个三角形边界上,积分为 \(0\)。