柯西积分定理(柯西-古萨定理)

柯西积分定理是复变函数里的一条基本的定理。它说的是,区域上的解析函数在区域内的任意一条简单闭曲线上的积分为 0。

笔记下载:柯西-古萨定理(Cauchy-Goursat)

当函数在区域上解析且导数连续的时候,这个定理有一个简单的证明。设 \(f(z)=u(x,y)+iv(x,y)\),因为 \(f(z)\) 解析且导函数连续,那么\(u(x,y),v(x,y)\) 一阶连续可导,即它们的一阶偏导数也连续。由格林(Green)公式

\[\begin{align*}\int_Cf(z)dz&=\int_C( u(x,y)+iv(x,y) )(dx+idy)=\int_C(udx-vdy)+i\int_C(vdx+udy)\\ &=\iint_D(-v_x-u_y)dxdy+i\iint_D(u_x-v_y)dxdy\end{align*}\]

因为函数解析,所以它满足柯西-黎曼方程

\[u_x=v_y, u_y=-v_x\]所以上述两个积分都为 \(0\),所以定理得以证明。