柯西不等式与刘维尔定理

由解析函数高阶导数公式,我们可以得到柯西不等式。粗略地说,函数在一点处的值,可以通过函数在以该点为圆心的一个圆周上的值以及圆的半径值来控制。而刘维尔定理的表述就更简单了,它指出了,有界整函数只能是常数。

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1,定理(柯西不等式):设 \(f(z)\) 在以 \(z_0\) 为圆心, \(\rho\) 为半径的闭圆盘上解析,则

\[|f^{(n)}(z_0)|\le \frac{n!M(\rho)}{\rho^n}\]

其中 \(M(\rho)\) 为 \(|f(z_0)|\)在 \(|z-z_0|=\rho\) 上的最大值。

证明:由解析函数的高阶导数公式,

\[f^{(n)}(z_0)=\frac{n!}{2\pi i}\oint_{|z-z_0|=\rho}\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}}dz\]

可以得到

\begin{align*}|f^{(n)}(z_0)|&=\left|\frac{n!}{2\pi i}\oint_{|z-z_0|=\rho}\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}}dz\right|\\ &\le\frac{n!}{2\pi}\oint_{|z-z_0|=\rho}\frac{|f(z)|}{|(z-z_0)^{n+1}|}|z'(\theta)|d\theta\\&\le \frac{n!}{2\pi}\cdot\frac{1}{\rho^{n+1}}M(\rho)\rho\cdot 2\pi\\&=\frac{n!M(\rho)}{\rho^n}\end{align*}

2,定理(刘维尔定理):有界整函数必为常数。

整函数是指整个平面上解析的函数。

证明:设 \(f(z)\) 为有界整函数,\(|f(z)|\le M, z\in\mathbb{C}\)。由柯西不等式

\[|f'(z)|\le \frac{M(\rho)}{\rho}\le \frac{M}{\rho}\]

令 \(\rho\to\infty\),就得到 \(|f'(z_0)|=0\),所以 \(f'(z_0)=0\)。因为 \(z_0\) 是平面上任意一点,所以得到在整个平面上 \(f'(z)=0\),也就是 \(f(z)=C\) 。

3,代数学基本定理:在复平面上 \(n\) 次多项式

\[P_n(z)=a_nz^n+a_{n-1}z^{n-1}+\cdots+a_1z+a_0]至少有一个零点。

证明:假设 \(P_n(z)\) 在复平面上没有零点,令 \(f(z)=\frac{1}{P_n(z)}\),则 \(f(z)\) 在平面上解析。而且

\[\lim_{z\to\infty}P_n(z)=\infty\]

所以 \(f(z)\) 在整个平面上有界,由刘维尔定理,\(f(z)\) 是常数,从而 \(P_n(z)\) 是常数,矛盾。所以 \(P_n(z)\) 至少有一个零点。