复连通区域上的柯西积分定理

柯西积分定理是对单连通区域成立的,但是它也可以推广到复连通区域上去。我们在复连通区域上添加辅助线,将复连通区域划分成几个单连通区域,然后应用柯西积分定理在每一个单连通区域上。因为在辅助线上,积分相互抵消,所以我们得到了复连通区域上的柯西积分定理。

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1,柯西积分定理:设 \(D\) 为一单连通区域,\(f(z)\) 在 \(D\) 内解析,在 \(D\) 的边界 \(C\) 上连续,则

\[\int_Cf(z)dz=0\]

2,定理(复连通区域上的柯西积分定理):设 \(D\) 是由复围线 \(C_1,C_2\) 所包围的复连通区域,

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\(f(z)\) 在 \(D\) 内连续,在 \(C_1,C_2\) 上连续,则

\[\int_{C_1}f(z)dz-\int_{C_2}f(z)dz=0\]

其中 \(C_1,C_2\) 取正向。

证明:我们添加辅助线 \(L_1,L_2\) 将区域 \(D\) 分成两个单连通区域 \(D_1\) 和 \(D_2\) ,

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在两个单连通区域内部,函数解析,在两个单连通区域的边界上,函数连续,所以可以分别应用柯西积分定理,在两个区域边界上的积分为 \(0\)。

因为在两条辅助线 \(L_1,L_2\) 上,积分一正一负,相互抵消,而在围线 \(C_2\) 上,积分的方向是负方向,所以

\[\int_{C_1}f(z)dz+\int_{C_2^-}f(z)dz=0\]

也就是

\[\int_{C_1}f(z)dz-\int_{C_2}f(z)dz=0\]