复变函数的积分

1,复函数的积分:一个依赖于单个实变量的复值函数 \(f(t)=u(t)+iv(t), a\le t\le b\) 在区间 \([a,b]\) 上的积分定义为\[\int_a^bf(t)dx=\int_a^bu(t)dt+i\int_a^bv(t)dt\]其中右边两个积分理解为通常意义下的定积分。

2,复变函数的路径积分(曲线积分):一个复变量的函数 \(f(z)\) 沿复平面上的曲线 \(C\) 的积分定义为 \[\int_Cf(z)dz=\lim_{\Delta z\to 0}\sum_{i=1}^nf(\xi_i)(a_i-z_{i-1}),\]其中 \(z_0, z_1,\cdots, z_n\) 为曲线上的的点, \(z_0\) 为曲线的起点, \(z_n\)为曲线的终点。这个定义形式上与实函数的定积分是一致的。

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3,复变函数积分的计算方法:曲线上的复变函数的积分计算方法是这样的:如果曲线 \(C\) 可以表示成参数方程 \(x=x(t), y=y(t), a\le t\le b\),则在曲线上 \(z=x(t)+iy(t), dz=(x'(t)+iy'(t))dt\), 从而积分

\[\int_Cf(z)dz=\int_a^bf( x(t)+iy(t) )( x'(t)+iy'(t))dt )\]

这就是一般的复变函数在上的积分的求法。

例1:求积分 \(\displaystyle\int_Lz^2dz\),其中 \(L\) 是从 \(0\) 到 \(1+3i\) 的直线段。

解:我们可以将直线化成参数方程

\[\begin{cases}x=t\\ y=3t\end{cases} 0\le t\le 1\]

所以 \(z=x+iy=t+3it=(1+3i)t, dz=(1+3i)dt\)

\begin{align*}\int_Lz^2dz&=\int_0^1(1+3i)^2t^2(1+3i)dt\\ &=(1+3i)^3\int_0^1t^2dt=\frac{(1+3i)^3}{3}t^3\Big|_0^1\\ &=\frac{(1+3i)^3}{3}\end{align*}

例2:求积分 \(\displaystyle\int_L\bar{z}dz\),其中 \(L\) 是下半单位圆,逆时针方向。

解:(1)单位圆的参数方程为 \(x=\cos t, y=\sin t\),因为是下半圆, 所以 \(-\pi\le t\le 0\)。\[\bar{z}=x-iy=\cos t-i\sin t, z=x+iy=\cos t+i\sin t, dz=(-\sin t+i\cos t)dt,\]代入到积分里面去,

\begin{align*}\int_L\bar{z}dz&=\int_{-\pi}^0(\cos t-i\sin t)\cdot(-\sin t+i\cos t)dt\\ &=i\int_{-\pi}^0dt=\pi i\end{align*}

(2)因为是单位圆,所以下半圆上的点可以用 \(z=e^{i\theta}, -\pi\le\theta\le 0\),而 \(\bar{z}=e^{-i\theta}\),\(dz=ie^{i\theta}d\theta\),代入到积分里去,

\begin{align*}\int_L\bar{z}dz&=\int_{-\pi}^0e^{-i\theta}ie^{i\theta}d\theta\\ &=i\int_{-\pi}^0d\theta=\pi i\end{align*}

4,积分的性质:

(1)\(\displaystyle\int_L C\cdot f(z)dz=C\int_Lf(z)dz\);

(2)若 \(L=L_1+L_2\),则

\[\int_Lf(z)dz=\int_{L_1}f(z)dz+\int_{L_2}f(z)dz\]

(3)\(\displaystyle\int_{-L } f(z)dz=-\int_Lf(z)dz\);

(4)\(\displaystyle\int_L(f(z)\pm g(z))=\int_Lf(z)dz\pm \int_Lg(z)dz\);

(5)\(\displaystyle|\int_Lf(z)dz|\le \int_L|f(z)|dz\);

(6)若在曲线 \(L\) 上,\(|f(z)|\le M\),则

\[|\int_Lf(z)dz|\le M\cdot |L|\]

这里 \(|L|\) 是 \(L\) 的长度。