保形映射,解析函数的保形性

复变函数的图形只能通过两个平面来表示,因为函数的定义域与值域都是复平面,不可能用三维图形来表示,那么这两张图之间就可以看成是一种映射。

解析函数的一个重要的性质是它们的保形性。顾名思义,保形就是保持形状不变。解析函数确定的映射保持角度不变,且方向不变。一个三角形,只要它足够小,那么它在解析映射之下的像与它本身之间几乎就是相似的(略去高阶无穷小后就是相似的。)

1,保形映射:如果一个映射(1)保角(夹角不变);(2)伸缩率不变,就称这们的映射为保形映射。

Rendered by QuickLaTeX.com

2,定理(解析函数的保域性,开映射原理):设 \(w=f(z)\) 在区域 \(D\) 上解析且恒不等于常数,则 \(D\) 的像 \(G=f(D)\) 也是一个区域。

证明:我们需要证明\(G\) 是连通的开集,所以这个证明分成两步:

(1) 我们证明 \(G\) 是连通的。设 \(w_0,w_1\) 是 \(G\) 中任意两点, \(f(z_0)=w_0, f(z_1)=w_1,z_0,z_1\in D\).

设 \(\gamma(t)\) 是连接 \(z_0,z_1\) 的位于 \(D\) 中的曲线,\(\gamma(0)=z_0, \gamma(1)=z_1\),则 \(f(\gamma(t))\) 是位于 \(G\) 中且 \(f(\gamma(0))=f(z_0)=w_0, f(\gamma(1))=f(z_1)=w_1\),所以 \(f(\gamma(t))\) 是 \(G\) 中连接 \(w_0\) 和 \(w_1\) 的曲线,所以 \(G\) 是连通的。

(2)我们证明 \(G\) 是开集。我们只需要证明 \(G\) 中任意一点,其附近的点也属于 \(G\)。

设 \(w_0\in G\) 是 \(G\) 中任意一点,\(f(z_0)=w_0\),只需要证明当 \(w_1\) 充分接近 \(w_0\) 时,\(f(z)=w\) 在 \(D\) 内有解。 因为

\[f(z)-w=f(z)-w_0+w_0-w_1\]

我们知道 \(f(z_0)=w_0\),也就是说 \(f(z)-w_0\) 有 \(N_{\delta}(z_0)\) 内有解,这个 \(N_{\delta}(z_0)\) 就是以 \(z_0\) 为心,\(\delta\) 为半径的圆,称为 \(z_0\) 的\(delta\) 邻域。

由零点的孤立性,当 \(z\ne z_0\) 时,\(|f(z)-w_0|>\rho>0\),所以在 \(|w-w_0|<\rho \) 内, \(|f(z)-w_0|>|w-w_0|\)。

由儒歇定理,\(f(z)-w_0\) 与 \(f(z)-w_0+w_0-w\) 的零点数相同,所以

\[f(z)-w=f(z)-w_0+w_0-w\]

与 \(f(z)-w_0\) 有相同的零点数,也就是说 \(f(z)=w\) 在 \(D\) 内有解。所以 \(|w-w_0|<\rho\) 的点都属于 \(G\)。所以 \(G\) 是开集。

综上所述,\(G\) 是连通的开集,所以 \(G\) 是一个区域。