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怎么求矩阵的列空间和零空间

列空间和零空间都是 \(mathbb{R}^n}\) 上的线性子空间,听起来很难的样子,其实求它们并不算很难的一件事。在做完初等行变换,把矩阵变成行阶梯形后,列空间的基就是每一个非零行的第一个非零元所在的列所对应的原矩阵里的列向量。而求零空间,其实就是求齐次方程的解空间。我们来具体讲一下怎么求这两个空间。

因为向量空间完全可以由其基表示,所以只要求出它的基就可以。现在我们讲一讲怎么求列空间的基。只需要两步就可以。
第一步:将矩阵化成行阶梯形;
第二步:找出每一个非零行,第一个非零元所在的列,对应的原矩阵里的列,就是列空间的基。

我们来看一个例子:设\(A\) 为如下的矩阵
\[
\begin{pmatrix}
1&4&8&-3&-7\\
-1&2&7&3&4\\
-2&2&9&5&5\\
3&6&9&-5&-2
\end{pmatrix}\]

通过初等行变换,它可以变成

\[
\begin{pmatrix}
1&4&8&0&5\\
0&2&5&0&-1\\
0&0&0&1&4\\
0&0&0&0&0
\end{pmatrix}\]

现在已经变成了行阶梯形矩阵了。我们只需要找到每个非零行的首个非零元就知道列空间的基了。第一、二、三行都是非零行,它们的首个非零元在第一、二、四列,所以,列空间的基是原矩阵里的第一、二、四列,也就是说,列空间 \(Col A\) 的基由下列三个向量组成:

\[
\begin{pmatrix}
1\\
-1\\
-2\\
3
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
4\\
2\\
2\\
6\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
-3\\
3\\
5\\
-5
\end{pmatrix}
\]

或者说 \[{\rm Col} A= {\rm span}\left(\begin{pmatrix}
1\\
-1\\
-2\\
3
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
4\\
2\\
2\\
6\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
-3\\
3\\
5\\
-5
\end{pmatrix}\right)\]

现在我们转到怎么找零空间。由零空间的定义,\(Null A=\{\vec{x}|A\vec{x}=0\}\),所以,找零空间就是解方程组 \(A\vec{x}=0\}\) 。我们仍然以上面的 \(A\) 为例。我们先将它化成行最简形(RREF)
\[
\begin{pmatrix}
1&4&8&0&5\\
0&2&5&0&-1\\
0&0&0&1&4\\
0&0&0&0&0
\end{pmatrix}
\sim
\begin{pmatrix}
1&0&-2&0&-3\\
0&1&\frac{5}{2}&0&-\frac{1}{2}\\
0&0&0&1&4\\
0&0&0&0&0
\end{pmatrix}
\]

它的解是
\[\vec{x}=
C_1\begin{pmatrix}
2\\
-\frac{5}{2}\\
1\\
0\\
0
\end{pmatrix}+C_2
\begin{pmatrix}
3\\
\frac{1}{2}\\
0\\
-4\\
1
\end{pmatrix}
\]

所以零空间是
\[
Null A={\rm span}\left(\begin{pmatrix}
2\\
-\frac{5}{2}\\
1\\
0\\
0
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
3\\
\frac{1}{2}\\
0\\
-4\\
1
\end{pmatrix}\right)
\]