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高等数学(微积分)如何学才不痛苦?

经常有学生或者家长跟我说(当年)学习高等数学或微积分时是多么的痛苦,多么的绝望。 甚至有同学发出“学完高数以后我再也不学数学了”的感叹。 确实 ,高等数学里面有不少的的定义、定理非常抽象、语言晦涩 难懂 。要弄懂这些内容确实是让人抓狂的事。

事实上,我们学习高数不用这么痛苦,可以很高效,比较轻松地学习好它的核心内容的。只要我们把握好几个原则就可以做到。

第一个原则就是:专注于计算,抽象的定义与理论先放一边。

高数,本质上就是微积分,很多课程 直接叫微积分。而微积分就是一种计算方法,它主要就是讲的这种计算方法以及它的应用。所以只要掌握了微积分的计算与它们的应用,也就掌握了高数这门课程。

高数或者微积分里面有些定义和定理确实很难,但如果确实弄不明白,先放一边,或许学到后面能明白,但实在不明白也没关系,根本不影响后面的学习。

举例来说,极限的严格定义:对所有的 \epsilon>0,存在 \delta>0,使得当0<|x-a|<\delta 时,不等式 |f(x)-A|<\epsilon 成立,我们称 Af(x)x 趋近于 a 时的极限。

很多同学看到这一段话,估计就懵了。不要说里面的数学,就是想把这段话读顺都不容易,太拗口了,逻辑顺序都难弄得清。但实际上,没有弄懂这个定义,完全没有影响的后面的学习。对于极限,我们只需要理解它的直观定义就够了:当 x 不断靠近 a 的时候, f(x) 无限靠近 A,我们就说 Af(x)x 趋近于 a 时的极限。

如果我们把这个定义完全用数学符号写出来,那更受不了:\forall \epsilon>0, \exists \delta>0, 使得当 0<|x-a|<\delta 时,不等式 |f(x)-A|<\epsilon 成立,我们称 Af(x)x 趋近于 a 时的极限。

顺带说一句,极限的这个严格定义,是分析学里的一个核心概念,它还在实变函数,泛函分析里面起到基础的作用。哪怕是数学系学了几年的学生,都不一定能把这个定义完全弄明白,所以第一次学,弄不懂是很正常的事。

我们的第二个原则是:学好三种计算,求极限,求导数,求不定积分

我们前面讲了,微积分就是计算,要学好微积分就要专注于计算。而微积分里的计算基本上都离不开这三种计算。以不定积分来说,定积分基本上可以用不定积分法来求,重积分是用定积分来求,曲线积分和曲面积分也都是用定积分来求。

这三种计算,求导数还好,基本上是套公式。十几个基本求导公式再加上几个求导法则,套上去,基本上就求出来了。这里我稍微提一下,基本的求导公式不要去背,很容易背混的。要边做题边记,最后能够不看公式,就能做完做对,那么公式就记下来了。

求极限的方法很多,十几种,四则运算,几种初等的方法,两个重要极限,洛必达法则是最常用的几种。会了这几种,可以对付绝大部分的极限了。但即使只用这几种方法,要熟练掌握也得花一点功夫,因为你事先并不知道哪一个极限要用哪一个方法来求,只有足够熟练了,才能一眼看出该用哪一个方法。

不定积分的求法是这三种计算里面最复杂也是最重要计算。看起来不定积分只有三种方法:第一类换元,第二类换元和分部积分。但是怎么换,第一类换元还是第二类换元,换哪一个,还是分部积分;或者是先换元再分部还是先分部再换元,都是需要很多练习以后才能熟练掌握的。另外再加上三角函数的恒等变换,有理函数的分解,都使得不定积分变得异常复杂。

虽然不定积分这么复杂,但我可以说,掌握了不定积分也就掌握了微积分。因为只要掌握了不定积分,导数就掌握了,定积分也掌握了。不定积分是求导的逆运算,就象掌握了除法,乘法肯定没问题。又因为有了牛顿-莱布尼兹公式,求定积分无非就是求一个不定积分,再代函数值而已。

我们的第三个原则是:学会微积分的应用

一元微积分部分,导数的应用主要是洛必达法则,极大极小值和函数的性态(增减,凹凸);积分的应用主要是面积、体积。

多元微积分基本上是计算,应用上主要是多元函数的极值及拉格朗日条件极值。

遵守这三条原则,高数就没那么难了。

可以参看我们的视频课程:高数(上)视频课程高数(下)视频课程

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如何计算对弧长的曲线积分

对弧长的曲线积分,通常是具有形式 \(\int_L f(x,y)ds\)(二维)或者 \(\int_L f(x,y,z)ds\)(三维)。对弧长的曲线积分,计算方法是很直接的,没有太多技巧可言,运用弧微分 \(ds\) 的公式计算即可。

  • 如果 \(L\) 是平面曲线并且由参数方程给出 \(x=\phi(t), y=\psi(t), \alpha\le t\le \beta\),那么弧微分的表达式为\[ds=\sqrt{\phi’^2(t)+\psi’^2(t)}dt,\] 所以曲线积分可以用定积分\[\int_{\alpha}^{\beta}f( \phi(t), \psi(t)) \sqrt{\phi’^2(t)+\psi’^2(t)}dt \]来计算;
  • 如果 \(L\) 是空间曲线并且由参数方程给出 \(x=\phi(t), y=\psi(t), z=\gamma(t), \alpha\le t\le \beta\),那么弧微分的表达式为\[ds=\sqrt{\phi’^2(t)+\psi’^2(t)+\gamma’^2(t)}dt,\]
    从而曲线积分可以用定积分\[\int_{\alpha}^{\beta}f( \phi(t), \psi(t),\gamma(t)) \sqrt{\phi’^2(t)+\psi’^2(t) +\gamma’^2(t) }dt \]来计算;
  • 如果 \(L\) 是平面曲线并且由函数 \(y=g(x), a\le x\le b\) 给出,则弧微分的表达式为\[ds=\sqrt{1+g’^2(x)}dx,\]从而曲线积分可以用定积分\[\int_a^bf(x,y) \sqrt{1+g’^2(x)}dx \]来计算。
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如何应用根值判别法求幂级数的收敛半径?

在一般的教材里,幂级数的收敛半径通常是用比值判别法来求的。事实上,我们也可以应用根值判别法来求幂级数的收敛半径。由根值判别法,

\[ \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left|u_n\right|}= \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left|a_{n}x^{n}\right|}=|x|
\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left|a_{n}\right|} \]

由根值判别法的结论,当\( \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left|u_n\right|}=|x| \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left|a_{n}\right|} <1\),也就是\(|x|<\frac{1}{
\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left|a_{n}\right|} }\) 时,级数收敛,所以我们得到了收敛半径为 \[
R=\frac{1}{ \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left|a_{n}\right|}} . \]

对于缺项级数和一般泰勒级数,我们也可以用根值判别法来求它们的收敛半径。我们可以看几个例子。

例1,求幂级数\[\sum_{n=1}^{\infty}n5^nx^n\]的收敛半径。

解:由上述推导,我们知道,幂级数的收敛半径为

\[ R=\frac{1}{ \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left|a_{n}\right|}} = \frac{1}{ \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left|n5^n\right|}}= \frac{1}{5}. \]

例2,求幂级数

\[\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^nx^{2n}}{n+1}\]的收敛半径。

解:这个级数是缺项级数,我们不能直接应用我们上面的结论。但是我们仍然可以应用根值判别法来求收敛半径。首先,我们求极限

\[ \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left|u_n\right|}= \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left|
\frac{(-1)^nx^{2n}}{n+1} \right|}= |x|^2.\] 由根值判别法的结论,当 \(|x|^2<1\) 时,级数收敛, \(|x|^2>1\) 时, 级数发散。也就是说,\(|x|<1\) 时,级数收敛, \(|x|>1\) 时, 级数发散。 所以级数的收敛半径为 \(1\)。

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正项级数的积分判别法

有些教材用到了积分判别法来判别 \(p-\)级数的收敛性, 但是没有特别地、详细地讲述这一判别法则。这篇文章就详细讲解这一判别方法。

我们先来叙述一下这个判别定理.

定理(积分判别法): 设 \(f(x)\) 在区间 \([1,\infty)\) 上为一连续、非负、单调递减函数,并且 \(f(n)=a_n\), 那么级数 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n\) 与积分 \(\displaystyle\int_1^{\infty}f(x)dx\) 同敛散。 也就是说:

  • 如果积分 \(\displaystyle\int_1^{\infty}f(x)dx\) 收敛,则级数 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n\) 收敛
  • 如果积分 \(\displaystyle\int_1^{\infty}f(x)dx\) 发散,则级数 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n\) 发散

我们不去证明这个定理,有兴趣的同学可以参考相关的教材。

注记:

  1. 对于这个定理,\(n\) 不一定要从 1 开始 。举例说,如果级数的第一项从 4 开始,那么我们的积分的下限就是 4 .
  2. \(f(x)\) 不一定需要在区间上一直单调,只需要它最终是单调的就行,也就是说,从某一项开始后,它是单调的。
  3. 级数的值不等于积分的值,这一点需要注意。

这个定理的应用主要在于级数的一般项可以写成 \(n\) 的某个函数的形式。如果级数的一般项可以写成 \(n\) 的某个函数,那么应用这个判别法则是比较方便的。我们来看几个例子。

例 1:判别级数
\[\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2+1}\]
的敛散性。

解:我们看到,函数 \(\frac{1}{x^2+1}\) 在区间 \([1,\infty)\) 上为一连续、非负、单调递减函数,所以我们可以用积分判别法。因为
\[\int_1^{\infty}\frac{1}{x^2+1}dx=\arctan x \Big|_1^{\infty}=\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{4}.\]
所以,积分是收敛的,从而由积分判别法,此级数收敛。

例 2:判别级数
\[\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\ln n}{n}\]的敛散性。

解:函数 \(f(x)=\frac{\ln x}{x}\) 在区间 \((1,\infty)\) 上为一连续、非负函数,但是否单调, 我们一下子看不出来。那我们用导数的方法来判定其是否单调。
\[f'(x)=\frac{1-\ln x}{x^2}.\]
它在 \(x>e\) 时是单调减少的。根据我们前面的注记,这个函数是最终单调减少的。所以我们可以用积分判别法。因而
\[\int_1^{\infty}\frac{\ln x}{x}=\frac{1}{2}\ln^2x\Big|_1^{\infty}=\infty .\]
所以积分是发散的,从而,级数\(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\ln n}{n}\) 是发散的。

例3:判别级数
\[\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n\ln n}\]的敛散性。

解:函数 \(\frac{1}{x\ln x}\) 在区间 \([1,\infty)\) 上为一连续、非负、单调递减函数,所以我们可以用积分判别法来判别。我们有
\[\int_1^{\infty}\frac{1}{x\ln x}=\ln^2(\ln x)\Big|_2^{\infty}=\infty .\]
所以级数发散。

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函数展开成幂级数的方法总结

函数展开成幂级数的一般方法是;

  1. 直接展开;对函数求各阶导数,然后求各阶导数在指定点的值,从而求得幂级数的各个系数。
  2. 通过变量代换来利用已知的函数展开式;例如 \(\sin2x\) 的展开式就可以通过将 \(\sin x \) 的展开式里的 \(x\) 全部换成 \(2x\) 而得到。我们已知 \(\displaystyle\sin x=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}, \forall x\in R\), 从而 \(\displaystyle\sin2x=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{(2x)^{2n+1}}{(2n+1)!}, \forall x\in R\).
  3. 通过变形来利用已知的函数展开式;例如要将 \(\displaystyle \frac{1}{1+x}\) 展开成 \(x-1\) 的幂级数,我们就可以将函数写成 \(x-1\) 的函数,然后利用 \(\displaystyle \frac{1}{1+x}\) 的幂级数展开式。\(\displaystyle \frac{1}{1+x}=\frac{1}{2+(x-1)}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{1+\frac{x-1}{2}}\),而 \(\displaystyle\frac{1}{1+\frac{x-1}{2}}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n(\frac{x-1}{2})^n\),从而 \(\displaystyle \frac{1}{1+x}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{(x-1)^n}{2^{n+1}}\)
  4. 通过逐项求导、逐项积分已知的函数展开式;例如 \(\displaystyle \cosh x= (\sinh x)’\),它的幂级数展开式就可以通过将\(\sinh x\) 的展开式逐项求导得到。需要注意的是,逐项积分法来求幂级数展开式,会有一个常数出现,这个常数是需要我们确定的。确定的方法就是通过在展开点对函数与展开式取值,令两边相等,就得到了常数的值。
  5. 利用级数的四则运算。例如 \(\displaystyle\sinh x= \frac{e^x-e^{-x}}{2}\),而 \(\displaystyle e^x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}, e^{-x}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^nx^n}{n!}\),所以 \(\displaystyle\sinh x=\frac{1}{2}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}-\frac{1}{2}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^nx^n}{n!}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{2n-1}}{(2n-1)!}, \forall x\in R\)

几个常用的已知函数的展开式:

  1. \(\displaystyle\sin x=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}, \forall x\in R\)
  2. \(\displaystyle\cos x=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}, \forall x\in R\)
  3. \(\displaystyle e^x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}, \forall x\in R\)
  4. \(\displaystyle\frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^{\infty}x^n, \forall x\in (-1,1)\)
  5. \(\displaystyle\frac{1}{1+x}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^nx^n, \forall x\in (-1,1) \)
  6. \(\displaystyle\ln(1-x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n}, \forall x\in (-1,1]\)
  7. \(\displaystyle\ln(1+x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n}x^n, \forall x\in (-1,1]\)
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级数判敛方法总结

级数判敛的方法众多,总结起来就有比较判别法,比较判别法的极限形式,比值判别法,根值判别法,极限判别法,积分判别法,交错级数判敛法以及一个级数收敛的必要条件。对于一个具体的级数,应该应用哪一种方法最有效,这就是一个头疼的问题。我们不可能一个方法一个方法的来试,那样就太浪费时间了。这里我们总结一下一般的原则。

判定一个级数是否收敛的关键,在于迅速确定级数的形式。不同的形式有着不同的有效判别方法。现在我们总结一下,哪些形式应用哪些判别法则。

  1. 如果一眼能看出一般项的极限不趋于 \(0\),即 \(\lim_{n\to\infty}a_n\ne 0\),则级数发散;
  2. 如果级数具有形式 \(\sum 1/n^p\),那么就是一个 \(p-\) 级数。当 \(p\le1\) 时发散,当 \(p>1\) 时收敛;
  3. 如果级数具有形式 \(\sum a r^n\), 那么就是一个几何级数。当 \(|r|\ge1\) 时发散,当 \(|r|<1\) 时收敛;

这两种级数是最基本的级数,后面的几种判别法,差不多都是跟这两种级数做比较而得到的。

  1. 如果级数的一般项是 \(n\) 的一个代数式(有理分式或者无理分式),那么该级数与某个 \(p-\)级数同敛散(极限判别法或者比较判别法的极限形式)。我们只需要在分式中保留关于 \(n\) 的最高阶项,所得到的项就是这个 \(p-\) 级数的一般项。例如,级数 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2+n+1}\),它的一般项 \(\displaystyle\frac{1}{n^2+n+1}\sim \frac{1}{n^2}\),所以它与级数 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}\) 同敛散。在这里,我们将级数的一般项关于 \(n\) 的最高阶项保留,就得到 \(1/n^2\),所以级数 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}\) 就是我们要寻找的那个比较级数 。再如 \(\displaystyle\frac{1}{\sqrt{n^2+1}}\sim \frac{1}{n}, (n\to \infty)\),所以级数 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n^2+1}}\) 发散;
  2. 或者,简单地说,就是如果一个级数的一般项等价于一个 \(p-\) 级数的一般项,则级数与该 \(p-\) 级数同敛散;
  3. 同上,如果一个级数的一般项等价于一个几何级数的一般项,则级数与该几何级数同敛散;
  4. 如果级数含有 \(n!\) ,则比值判别法比较有效。 需要注意的是,比值判别法对 \(p-\) 级数失效,因而对任何级数一般项 \(n\) 的代数式的级数也失效;
  5. 如果级数的一般项 \(a_n=(b_n)^n\), 则首先考虑根值判别法;
  6. 如果级数的一般项是 \(n\) 的函数 \(f(n)\) 并且广义积分 \(\int_1^{\infty}f(x)dx\) 较易求得,则可考虑使用积分判别法。
  7. 如果级数含有项 \((-1)^n\),则是一个交错级数,这时候,必定考虑莱不尼兹判别法(交错级数判别法)。