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如何求隐函数的二阶导数?

我们知道,求隐函数的二阶导数,方法就是将隐函数方程的两边同时对 \(x\) 求导,在求导的过程中,将 \(y\) 看成 \(x\) 的函数,然后利用复合函数的求导法则,得到 \(\frac{dy}{dx}\) 的方程,解这个方程,就得到了 \(\frac{dy}{dx}\) 的表达式。

那么,问题是,对于隐函数的二阶导数,我们是不是还要这样求呢?其实不必了,因为我们求出来一阶导数,它有个具体的表达式,我们对这个表达式再对 \(x\) 求导就行了。如果这个表达里还有 \(y\),那么就将它看成中间变量或者看成 \(x\) 的函数,它对 \(x\) 的导数是已知的(我们求一阶导数的时候就得到它了)。然后将它的表达式代入到二阶导数的表达里面就可以了。

我们来看一个例子。

例:设 \(xy+y^2=2\) ,求 \(\frac{d^2y}{dx^2}\)。

解:我们先求一阶导数。对方程两边同时对 \(x\) 求导,我们得到

\[y+x\frac{dy}{dx}+2y\frac{dy}{dx}=0\]

解出 \(\frac{dy}{dx}\),我们得到

\[\frac{dy}{dx}=-\frac{y}{x+2y}.\]

再对 \(x\) 求导,我们得到

\[\frac{d^2y}{dx^2}=-\frac{\frac{dy}{dx}(x+2y)-y(1+2\frac{dy}{dx})}{(x+2y)^2}\]

将 \( \frac{dy}{dx}=-\frac{y}{x+2y} \) 代入,并化简,我们得到

\[\frac{d^2y}{dx^2}= \frac{\frac{y}{x+2y}(x+2y)+y(1-2\frac{y}{x+2y})}{(x+2y)^2}=\frac{2y^2+2xy}{(x+2y)^3}\]

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如何计算对弧长的曲线积分

对弧长的曲线积分,通常是具有形式 \(\int_L f(x,y)ds\)(二维)或者 \(\int_L f(x,y,z)ds\)(三维)。对弧长的曲线积分,计算方法是很直接的,没有太多技巧可言,运用弧微分 \(ds\) 的公式计算即可。

  • 如果 \(L\) 是平面曲线并且由参数方程给出 \(x=\phi(t), y=\psi(t), \alpha\le t\le \beta\),那么弧微分的表达式为\[ds=\sqrt{\phi’^2(t)+\psi’^2(t)}dt,\] 所以曲线积分可以用定积分\[\int_{\alpha}^{\beta}f( \phi(t), \psi(t)) \sqrt{\phi’^2(t)+\psi’^2(t)}dt \]来计算;
  • 如果 \(L\) 是空间曲线并且由参数方程给出 \(x=\phi(t), y=\psi(t), z=\gamma(t), \alpha\le t\le \beta\),那么弧微分的表达式为\[ds=\sqrt{\phi’^2(t)+\psi’^2(t)+\gamma’^2(t)}dt,\]
    从而曲线积分可以用定积分\[\int_{\alpha}^{\beta}f( \phi(t), \psi(t),\gamma(t)) \sqrt{\phi’^2(t)+\psi’^2(t) +\gamma’^2(t) }dt \]来计算;
  • 如果 \(L\) 是平面曲线并且由函数 \(y=g(x), a\le x\le b\) 给出,则弧微分的表达式为\[ds=\sqrt{1+g’^2(x)}dx,\]从而曲线积分可以用定积分\[\int_a^bf(x,y) \sqrt{1+g’^2(x)}dx \]来计算。