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什么是相关变化率?怎么求?

什么是相关变化率? 举例来说吧。我们知道圆的面积\(A=\pi r^2\),如果这个半径是根据时间变化的,那么很显然,面积也根据时间变化。变化率其实就是导数,如果我们知道半径的变化率(就是半径关于时间的导数) \(\frac{dr}{dt}\),那么在某个时刻,面积对于时间的变化率(导数\(\frac{dA}{dt}\))也就知道了。

从数学的角度来看这个问题,其实就是复合函数的求导法则。半径可以看成是时间的函数\(r=r(t)\),那么面积\(A(t)=\pi r^2(t)\),由复合函数的求导法则\(\frac{dA}{dt}=\frac{dA}{dr}\cdot\frac{dr}{dt}=2\pi r \frac{dr}{dt}\)。假如\(r\)每秒增加\(1\)cm, 那么当半径为\(2\)的时候的面积的变化率为\(2\pi \cdot 2\cdot 1=4\pi cm\)。

这种类型的问题,另一个难点是不知道怎么把实际问题转化成数学问题。这就是如何建立数学模型的问题。它的实际困难就是,很多同学并不知道其实变化率就相当于导数。但是从导数的定义就知道,导数就是变化率\(\frac{\Delta y}{\Delta x}\)的极限。当时间间隔足够短的时候,变化率就可以看成是导数。

我们来看两个例题,来说明如何求相关变化率。

例1:设\(x^2+y^2=25\)以及当\(x=4\) 的时候 \(\frac{dx}{dt}=5\), 求当 \(x=2\) 的时候 \(\frac{dy}{dt}\)的值。

解:两边关于 \(t\) 求导,我们得到

\[2x \frac{dx}{dt}+2y\frac{dy}{dt}=0 \]

当 \(x=4\) 的时候 , \(y=\pm 3\)

\[8\cdot 5\pm6 \frac{dy}{dt}=0 \]

所以

\[ \frac{dy}{dt}=\mp \frac{20}{3} .\]

例2:两辆汽车从同一点出发,其中一辆以 \(60\) 公里每小时向南行驶,另一辆车以每小时\(25\)公里向西行驶。问在两小时后,两辆车的距离的变化率是多少?

解:我们可以用图来说明

我们设AB 的长度为 \(x\), AC 的长度为 \(y\),BC 的长度为 \(z\),那么 \(z^2=x^2+y^2\),两小时后,\(x=120, y=50\),\(z=130\), 同时,由题设,\(\frac{dx}{dt}=60, \frac{dy}{dt}=25\),我们要求的是 \(\frac{dz}{dt}\),我们对方程 \(z^2=x^2+y^2\) 两边同时对 \(t\) 求导,我们得到

\[2z\frac{dz}{dt}=2x\frac{dx}{dt}+2y\frac{dy}{dt}\]

代入我们刚才得到的数值,我们有

\[2\cdot 130 \frac{dz}{dt}=2\cdot 120\cdot 60+2\cdot 50\cdot 25 \]

所以 \(\frac{dz}{dt}=\frac{16900}{260}=65\)公理/小时

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如何计算参数方程的二阶及高阶导数?

在高等数学教材里,推导出了参数方程的二阶导数公式

\[\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{\psi”(t)\phi'(t)-\psi’t(t)\phi”(t)}{\phi’^3(t)}.\]

其中曲线的参数方程为 \(x=\phi(t), y=\psi(t)\)。但是,实际上,这个公式既不好记,又不好用。其实,参数方程确定的函数的二阶导数及高阶导数有更好的更有效的求法。我们来说明这种方法。

因为参数方程的一阶导数为

\[\frac{dy}{dx}=\frac{\psi'(t)}{\phi'(t)},\]

所以我们看得出,一阶导数 \(\frac{dy}{dx}\)还是关于 \(t\) 的函数,我们直接关于 \(x\) 再求导是不方便的,但是我们可以利用复合函数的求导法则,将关于 \(x\) 的导数转化成关于 \(t\)  的导数。由复合函数的求导法则

\[\begin{align}\frac{d^2y}{dx^2}&=\frac{d}{dx}(\frac{dy}{dx})=\frac{d}{dt}(\frac{dy}{dx})\frac{dt}{dx}\\
&=\frac{d}{dt}(\frac{dy}{dx})\frac{1}{\frac{dt}{dx}}=\frac{d}{dt}(\frac{dy}{dx})\frac{1}{\phi'(t)}
\end{align}\]

这上面一大堆的东西可能你会看得眼花缭乱。那么我们用一种简单的方式来说吧。因为 \(\frac{dy}{dx}\)是关于 \(t\) 的函数,我们假设 \(F(t)=\frac{dy}{dx}\),那么二阶导数\(\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d}{dx}F(t)\),把 \(t\) 看成中间函数,那么 \(F(t)\) 关于\(x\) 的导数就是 \(\frac{d}{dx}F(t)=F'(t)\frac{dt}{dx}\),而 \(\frac{dt}{dx}=\frac{1}{\frac{dt}{dx}}=\frac{1}{\phi'(t)}\),从而 \(\frac{d}{dx}F(t)=F'(t)\frac{dt}{dx}=F'(t)\cdot \frac{1}{\phi'(t)}\)。

二阶以上的导数可以用相同的方法来求。我们用一个例子来说明这种方法。

例1, 求由参数方程
\[\begin{cases}
x=a\cos t\\
y=b\sin t
\end{cases}\]所确定的函数的二阶导数\(\frac{d^2y}{dx^2}\)。

解:我们先计算一阶导数
\[\frac{dy}{dx}=\frac{\psi'(t)}{\phi'(t)}=\frac{b\cos t}{-a\sin t}=-\frac{b}{a}\cot t.\]
所以,二阶导数为
\[\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d}{dx}(\frac{dy}{dx})=\frac{d}{dt}(\frac{dy}{dx})\frac{1}{\phi'(t)}=-\frac{b}{a}(-\csc^2t)\frac{1}{-a\sin t}=-\frac{b}{a^2}\csc^3t\]

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如何应用根值判别法求幂级数的收敛半径?

在一般的教材里,幂级数的收敛半径通常是用比值判别法来求的。事实上,我们也可以应用根值判别法来求幂级数的收敛半径。由根值判别法,

\[ \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left|u_n\right|}= \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left|a_{n}x^{n}\right|}=|x|
\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left|a_{n}\right|} \]

由根值判别法的结论,当\( \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left|u_n\right|}=|x| \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left|a_{n}\right|} <1\),也就是\(|x|<\frac{1}{
\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left|a_{n}\right|} }\) 时,级数收敛,所以我们得到了收敛半径为 \[
R=\frac{1}{ \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left|a_{n}\right|}} . \]

对于缺项级数和一般泰勒级数,我们也可以用根值判别法来求它们的收敛半径。我们可以看几个例子。

例1,求幂级数\[\sum_{n=1}^{\infty}n5^nx^n\]的收敛半径。

解:由上述推导,我们知道,幂级数的收敛半径为

\[ R=\frac{1}{ \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left|a_{n}\right|}} = \frac{1}{ \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left|n5^n\right|}}= \frac{1}{5}. \]

例2,求幂级数

\[\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^nx^{2n}}{n+1}\]的收敛半径。

解:这个级数是缺项级数,我们不能直接应用我们上面的结论。但是我们仍然可以应用根值判别法来求收敛半径。首先,我们求极限

\[ \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left|u_n\right|}= \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left|
\frac{(-1)^nx^{2n}}{n+1} \right|}= |x|^2.\] 由根值判别法的结论,当 \(|x|^2<1\) 时,级数收敛, \(|x|^2>1\) 时, 级数发散。也就是说,\(|x|<1\) 时,级数收敛, \(|x|>1\) 时, 级数发散。 所以级数的收敛半径为 \(1\)。

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正项级数的积分判别法

有些教材用到了积分判别法来判别 \(p-\)级数的收敛性, 但是没有特别地、详细地讲述这一判别法则。这篇文章就详细讲解这一判别方法。

我们先来叙述一下这个判别定理.

定理(积分判别法): 设 \(f(x)\) 在区间 \([1,\infty)\) 上为一连续、非负、单调递减函数,并且 \(f(n)=a_n\), 那么级数 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n\) 与积分 \(\displaystyle\int_1^{\infty}f(x)dx\) 同敛散。 也就是说:

  • 如果积分 \(\displaystyle\int_1^{\infty}f(x)dx\) 收敛,则级数 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n\) 收敛
  • 如果积分 \(\displaystyle\int_1^{\infty}f(x)dx\) 发散,则级数 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n\) 发散

我们不去证明这个定理,有兴趣的同学可以参考相关的教材。

注记:

  1. 对于这个定理,\(n\) 不一定要从 1 开始 。举例说,如果级数的第一项从 4 开始,那么我们的积分的下限就是 4 .
  2. \(f(x)\) 不一定需要在区间上一直单调,只需要它最终是单调的就行,也就是说,从某一项开始后,它是单调的。
  3. 级数的值不等于积分的值,这一点需要注意。

这个定理的应用主要在于级数的一般项可以写成 \(n\) 的某个函数的形式。如果级数的一般项可以写成 \(n\) 的某个函数,那么应用这个判别法则是比较方便的。我们来看几个例子。

例 1:判别级数
\[\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2+1}\]
的敛散性。

解:我们看到,函数 \(\frac{1}{x^2+1}\) 在区间 \([1,\infty)\) 上为一连续、非负、单调递减函数,所以我们可以用积分判别法。因为
\[\int_1^{\infty}\frac{1}{x^2+1}dx=\arctan x \Big|_1^{\infty}=\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{4}.\]
所以,积分是收敛的,从而由积分判别法,此级数收敛。

例 2:判别级数
\[\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\ln n}{n}\]的敛散性。

解:函数 \(f(x)=\frac{\ln x}{x}\) 在区间 \((1,\infty)\) 上为一连续、非负函数,但是否单调, 我们一下子看不出来。那我们用导数的方法来判定其是否单调。
\[f'(x)=\frac{1-\ln x}{x^2}.\]
它在 \(x>e\) 时是单调减少的。根据我们前面的注记,这个函数是最终单调减少的。所以我们可以用积分判别法。因而
\[\int_1^{\infty}\frac{\ln x}{x}=\frac{1}{2}\ln^2x\Big|_1^{\infty}=\infty .\]
所以积分是发散的,从而,级数\(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\ln n}{n}\) 是发散的。

例3:判别级数
\[\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n\ln n}\]的敛散性。

解:函数 \(\frac{1}{x\ln x}\) 在区间 \([1,\infty)\) 上为一连续、非负、单调递减函数,所以我们可以用积分判别法来判别。我们有
\[\int_1^{\infty}\frac{1}{x\ln x}=\ln^2(\ln x)\Big|_2^{\infty}=\infty .\]
所以级数发散。

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函数展开成幂级数的方法总结

函数展开成幂级数的一般方法是;

  1. 直接展开;对函数求各阶导数,然后求各阶导数在指定点的值,从而求得幂级数的各个系数。
  2. 通过变量代换来利用已知的函数展开式;例如 \(\sin2x\) 的展开式就可以通过将 \(\sin x \) 的展开式里的 \(x\) 全部换成 \(2x\) 而得到。我们已知 \(\displaystyle\sin x=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}, \forall x\in R\), 从而 \(\displaystyle\sin2x=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{(2x)^{2n+1}}{(2n+1)!}, \forall x\in R\).
  3. 通过变形来利用已知的函数展开式;例如要将 \(\displaystyle \frac{1}{1+x}\) 展开成 \(x-1\) 的幂级数,我们就可以将函数写成 \(x-1\) 的函数,然后利用 \(\displaystyle \frac{1}{1+x}\) 的幂级数展开式。\(\displaystyle \frac{1}{1+x}=\frac{1}{2+(x-1)}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{1+\frac{x-1}{2}}\),而 \(\displaystyle\frac{1}{1+\frac{x-1}{2}}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n(\frac{x-1}{2})^n\),从而 \(\displaystyle \frac{1}{1+x}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{(x-1)^n}{2^{n+1}}\)
  4. 通过逐项求导、逐项积分已知的函数展开式;例如 \(\displaystyle \cosh x= (\sinh x)’\),它的幂级数展开式就可以通过将\(\sinh x\) 的展开式逐项求导得到。需要注意的是,逐项积分法来求幂级数展开式,会有一个常数出现,这个常数是需要我们确定的。确定的方法就是通过在展开点对函数与展开式取值,令两边相等,就得到了常数的值。
  5. 利用级数的四则运算。例如 \(\displaystyle\sinh x= \frac{e^x-e^{-x}}{2}\),而 \(\displaystyle e^x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}, e^{-x}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^nx^n}{n!}\),所以 \(\displaystyle\sinh x=\frac{1}{2}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}-\frac{1}{2}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^nx^n}{n!}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{2n-1}}{(2n-1)!}, \forall x\in R\)

几个常用的已知函数的展开式:

  1. \(\displaystyle\sin x=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}, \forall x\in R\)
  2. \(\displaystyle\cos x=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}, \forall x\in R\)
  3. \(\displaystyle e^x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}, \forall x\in R\)
  4. \(\displaystyle\frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^{\infty}x^n, \forall x\in (-1,1)\)
  5. \(\displaystyle\frac{1}{1+x}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^nx^n, \forall x\in (-1,1) \)
  6. \(\displaystyle\ln(1-x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n}, \forall x\in (-1,1]\)
  7. \(\displaystyle\ln(1+x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n}x^n, \forall x\in (-1,1]\)
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级数判敛方法总结

级数判敛的方法众多,总结起来就有比较判别法,比较判别法的极限形式,比值判别法,根值判别法,极限判别法,积分判别法,交错级数判敛法以及一个级数收敛的必要条件。对于一个具体的级数,应该应用哪一种方法最有效,这就是一个头疼的问题。我们不可能一个方法一个方法的来试,那样就太浪费时间了。这里我们总结一下一般的原则。

判定一个级数是否收敛的关键,在于迅速确定级数的形式。不同的形式有着不同的有效判别方法。现在我们总结一下,哪些形式应用哪些判别法则。

  1. 如果一眼能看出一般项的极限不趋于 \(0\),即 \(\lim_{n\to\infty}a_n\ne 0\),则级数发散;
  2. 如果级数具有形式 \(\sum 1/n^p\),那么就是一个 \(p-\) 级数。当 \(p\le1\) 时发散,当 \(p>1\) 时收敛;
  3. 如果级数具有形式 \(\sum a r^n\), 那么就是一个几何级数。当 \(|r|\ge1\) 时发散,当 \(|r|<1\) 时收敛;

这两种级数是最基本的级数,后面的几种判别法,差不多都是跟这两种级数做比较而得到的。

  1. 如果级数的一般项是 \(n\) 的一个代数式(有理分式或者无理分式),那么该级数与某个 \(p-\)级数同敛散(极限判别法或者比较判别法的极限形式)。我们只需要在分式中保留关于 \(n\) 的最高阶项,所得到的项就是这个 \(p-\) 级数的一般项。例如,级数 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2+n+1}\),它的一般项 \(\displaystyle\frac{1}{n^2+n+1}\sim \frac{1}{n^2}\),所以它与级数 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}\) 同敛散。在这里,我们将级数的一般项关于 \(n\) 的最高阶项保留,就得到 \(1/n^2\),所以级数 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}\) 就是我们要寻找的那个比较级数 。再如 \(\displaystyle\frac{1}{\sqrt{n^2+1}}\sim \frac{1}{n}, (n\to \infty)\),所以级数 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n^2+1}}\) 发散;
  2. 或者,简单地说,就是如果一个级数的一般项等价于一个 \(p-\) 级数的一般项,则级数与该 \(p-\) 级数同敛散;
  3. 同上,如果一个级数的一般项等价于一个几何级数的一般项,则级数与该几何级数同敛散;
  4. 如果级数含有 \(n!\) ,则比值判别法比较有效。 需要注意的是,比值判别法对 \(p-\) 级数失效,因而对任何级数一般项 \(n\) 的代数式的级数也失效;
  5. 如果级数的一般项 \(a_n=(b_n)^n\), 则首先考虑根值判别法;
  6. 如果级数的一般项是 \(n\) 的函数 \(f(n)\) 并且广义积分 \(\int_1^{\infty}f(x)dx\) 较易求得,则可考虑使用积分判别法。
  7. 如果级数含有项 \((-1)^n\),则是一个交错级数,这时候,必定考虑莱不尼兹判别法(交错级数判别法)。
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怎么求矩阵的列空间和零空间

列空间和零空间都是 \(mathbb{R}^n}\) 上的线性子空间,听起来很难的样子,其实求它们并不算很难的一件事。在做完初等行变换,把矩阵变成行阶梯形后,列空间的基就是每一个非零行的第一个非零元所在的列所对应的原矩阵里的列向量。而求零空间,其实就是求齐次方程的解空间。我们来具体讲一下怎么求这两个空间。

因为向量空间完全可以由其基表示,所以只要求出它的基就可以。现在我们讲一讲怎么求列空间的基。只需要两步就可以。
第一步:将矩阵化成行阶梯形;
第二步:找出每一个非零行,第一个非零元所在的列,对应的原矩阵里的列,就是列空间的基。

我们来看一个例子:设\(A\) 为如下的矩阵
\[
\begin{pmatrix}
1&4&8&-3&-7\\
-1&2&7&3&4\\
-2&2&9&5&5\\
3&6&9&-5&-2
\end{pmatrix}\]

通过初等行变换,它可以变成

\[
\begin{pmatrix}
1&4&8&0&5\\
0&2&5&0&-1\\
0&0&0&1&4\\
0&0&0&0&0
\end{pmatrix}\]

现在已经变成了行阶梯形矩阵了。我们只需要找到每个非零行的首个非零元就知道列空间的基了。第一、二、三行都是非零行,它们的首个非零元在第一、二、四列,所以,列空间的基是原矩阵里的第一、二、四列,也就是说,列空间 \(Col A\) 的基由下列三个向量组成:

\[
\begin{pmatrix}
1\\
-1\\
-2\\
3
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
4\\
2\\
2\\
6\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
-3\\
3\\
5\\
-5
\end{pmatrix}
\]

或者说 \[{\rm Col} A= {\rm span}\left(\begin{pmatrix}
1\\
-1\\
-2\\
3
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
4\\
2\\
2\\
6\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
-3\\
3\\
5\\
-5
\end{pmatrix}\right)\]

现在我们转到怎么找零空间。由零空间的定义,\(Null A=\{\vec{x}|A\vec{x}=0\}\),所以,找零空间就是解方程组 \(A\vec{x}=0\}\) 。我们仍然以上面的 \(A\) 为例。我们先将它化成行最简形(RREF)
\[
\begin{pmatrix}
1&4&8&0&5\\
0&2&5&0&-1\\
0&0&0&1&4\\
0&0&0&0&0
\end{pmatrix}
\sim
\begin{pmatrix}
1&0&-2&0&-3\\
0&1&\frac{5}{2}&0&-\frac{1}{2}\\
0&0&0&1&4\\
0&0&0&0&0
\end{pmatrix}
\]

它的解是
\[\vec{x}=
C_1\begin{pmatrix}
2\\
-\frac{5}{2}\\
1\\
0\\
0
\end{pmatrix}+C_2
\begin{pmatrix}
3\\
\frac{1}{2}\\
0\\
-4\\
1
\end{pmatrix}
\]

所以零空间是
\[
Null A={\rm span}\left(\begin{pmatrix}
2\\
-\frac{5}{2}\\
1\\
0\\
0
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
3\\
\frac{1}{2}\\
0\\
-4\\
1
\end{pmatrix}\right)
\]

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怎么求矩阵的特征值

方阵的特征值的计算历来是线性代数课程里较难掌握的一部分。它不仅涉及到带字母的行列式的计算,还包含了多项的求根的过程。现在我们来看看矩阵特征值的求法。

例 :求矩阵
\[A=\begin{pmatrix}
1&-2&4\\
2&3&1\\
1&1&1
\end{pmatrix}\]
的特征值.

求方阵\(A\)的特征值, 就是求多项式 \(|A-\lambda I|\) 的根. 它的基本步骤是这样的:

  1. 求出行列式 \(|A-\lambda I|\) , 它是一个关于 \(\lambda\) 的多项式 (就是特征多项式);
  2. 令多项式 \(|A-\lambda I |\) = 0, 求出 \(\lambda\) 的值 (就是特征值, 或者特征根)

现在我们来看这个题的完整的解法.

解:\(A\) 的特征多项式为
\[|A-\lambda I|=\begin{vmatrix}
1-\lambda&-2&4\\
2&3-\lambda&1\\
1&1&1-\lambda
\end{vmatrix}\]

先交换1, 3 两行,再将第一行乘以 \(-2\) 加到第二行, 乘以 \(\lambda-1\)加到第三行, 再对第一列展开, 就得到
\[\begin{align}|A-\lambda I|&=\begin{vmatrix}
1-\lambda&-2&4\\
2&3-\lambda&1\\
1&1&1-\lambda
\end{vmatrix}\\
&=-\begin{vmatrix}
1&1&1-\lambda\\
0&1-\lambda&-1+2\lambda\\
0&-3+\lambda&4-(1-\lambda)^2
\end{vmatrix}\\
&=-\begin{vmatrix}
1-\lambda&-1+2\lambda\\
-3+\lambda&4-(1-\lambda)^2
\end{vmatrix}
\end{align}\]

把第一列提出因子\(-1\), 并将第2 行第2 列的元素展开,可得
\[|A-\lambda I|=
\begin{vmatrix}
\lambda-1&-1+2\lambda\\
-\lambda+3&(1+\lambda)(3-\lambda)
\end{vmatrix}=
(3-\lambda)\begin{vmatrix}
\lambda-1&-1+2\lambda\\
1&1+\lambda
\end{vmatrix}=(\lambda-3)(-\lambda)(\lambda-2).
\]

令\(|A-\lambda I|=0\), 就得到了方阵\(A\) 的特征值为 \(\lambda_1=3, \lambda_2=0, \lambda_3=2\)

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怎么求矩阵方程?

求解矩阵方程,很像解一个一元一次方程,第一步就要”合并同类项”,将未知矩阵放在一起,然后利用逆矩阵来求解。我们来看例子。

例 1:解矩阵方程\(AB=A+2B\),其中
\[A=\begin{pmatrix}
0&3&3\\
1&1&0\\
-1&2&3
\end{pmatrix}.\]

我们看到,两边都有\(B\),那第一步就是将要求的\(B\)放在一起。为此,我们将右边的\(2B\)移到左边,然后求\(A-2E\)的逆矩阵就可以得到\(B\)了。我们来看完整的过程。

解: 将方程右边的2B移到左边,方程变成了
\[AB-2B=A \rightarrow (A-2E)B=A.\]
所以,只要\(A-2E\)可逆,方程的解就是
\[B=(A-2E)^{-1}A.\]

现在我们来求\(A-2E\)的逆矩阵。首先,我们要证明其可逆。
\[|A-2E|=\begin{vmatrix}
-2&3&3\\
1&-1&0\\
-1&2&1
\end{vmatrix}=
\begin{vmatrix}
1&-3&0\\
1&-1&0\\
-1&2&1
\end{vmatrix}=2\ne0\]
所以\(A-2E\)可逆。现在我们来求它的逆。

我们教材上讲了两种求逆矩阵的方法,一种是伴随矩阵的方法,另一种是初等变换法。不要傻傻地去用伴随矩阵来求逆矩阵,费力又不讨好。虽然那是最开始讲的一种方法。

求逆矩阵最简便的方法是用初等变换法。现在我们就用它来求\(A-2E\)的逆矩阵。
\[\begin{align}(A-2E,E)&=\begin{pmatrix}
-2&3&3&\vdots& 1&0&0\\
1&-1&0&\vdots& 0&1&0\\
-1&2&1&\vdots &0&0&1
\end{pmatrix}\\
&\stackrel{r1 + r3 \times -3}{\sim}
\begin{pmatrix}
1&-3&0&\vdots& 1&0&-3\\
1&-1&0&\vdots& 0&1&0\\
-1&2&1&\vdots &0&0&1
\end{pmatrix}\\
&\stackrel{\stackrel{r3+r1}{\scriptsize{r2-r1}}}{\sim}
\begin{pmatrix}
1&-3&0&\vdots& 1&0&-3\\
0&2&0&\vdots& -1&1&3\\
0&-1&1&\vdots &1&0&-2
\end{pmatrix}\\
&\stackrel{r2\times \frac{1}{2}}{\sim}
\begin{pmatrix}
1&-3&0&\vdots& 1&0&-3\\
0&1&0&\vdots& -\frac{1}{2}&\frac{1}{2}&\frac{3}{2}\\
0&-1&1&\vdots &1&0&-2
\end{pmatrix}\\
&\stackrel{\stackrel{r1+r2\times 3}{\scriptsize{r3+r2}}}{\sim}
\begin{pmatrix}
1&0&0&\vdots& -\frac{1}{2}&\frac{3}{2}&\frac{3}{2}\\
0&1&0&\vdots& -\frac{1}{2}&\frac{1}{2}&\frac{3}{2}\\
0&0&1&\vdots &\frac{1}{2}&\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}
\end{pmatrix}
\end{align}\]

所以
\[(A-2E)^{-1}=
\begin{pmatrix}
-\frac{1}{2}&\frac{3}{2}&\frac{3}{2}\\
-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}&\frac{3}{2}\\
\frac{1}{2}&\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}
\end{pmatrix}\]

将它乘在\(A\)的左边,就得到了\(B\):
\[\begin{align}B=(A-2E)^{-1}A&=
\begin{pmatrix}
-\frac{1}{2}&\frac{3}{2}&\frac{3}{2}\\
-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}&\frac{3}{2}\\
\frac{1}{2}&\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
0&3&3\\
1&1&0\\
-1&2&3
\end{pmatrix}\\
&=\begin{pmatrix}
0&3&3\\
-1&2&3\\
1&1&0
\end{pmatrix}
\end{align}\]

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初等变换技巧总结

总有同学问,初等变换有什么技巧吗?其实,初等变换已经是线性代数里最简单有效的技巧了,当然,它本身还是有一点点技巧的,应用这些技巧,可以让你的初等变换变得容易那么一点点。

初等变换的技巧并不多,总结起来,就这么三条:

  1. 逐列进行。如果是要化成三角形,第一步,将第一列除第一个元素外,全部化成0;接着,将第二列的第二个元素下方的全部化成 0 ;依此下去,直到最后一列。如果是化成行阶梯形,也是先从第一列开始,将第一个元素的下方全部化成 0 ;然后第二列,第三列等等。 如果是要化成行最简,那么化成阶梯形后,再从最后一个阶梯开始,将每个阶梯的第一个非 0 元的上方化成,依次往前进行。
  2. 找最简单的数字。每次化简前,将最简单的数字所在的行交换到基础行。所谓基础行(这是我给的定义,呵呵),对于三角形来说,就是主对角线元素所在的行,例如,现在要化简第三列,那么第三行就是基础行,因为我们要将第三行第三列元素的下方都化成 0 。如果是要化成阶梯形,那么基础行就是已经化完了的行的下一行。
  3. 耐心。不要着急,因为初等变换要做很多数字的四则运算,很容易出错,也很容易让人厌倦,所以这时候耐心很重要。耐心才不容易出错。

现在我们来看一个例子,说明一下怎么用这两个原则,逐列进行与找最简单的数字。

例 1:将矩阵化成行最简矩阵
\[\begin{pmatrix}
2&3&1&-3&-7\\
1&2&0&-2&-4\\
3&-2&8&3&0\\
2&-3&7&4&3
\end{pmatrix}\]

解:我们来看,这个矩阵怎么运用前面所说的两个法则。逐列进行,那么就是从第一列开始,将第一个元素的下方全部变成 0 。然后再第二列,第三列等等。来看第一列,第一列里最简单的数字是 1 ,所以将 1 所在的行交换到第一行(基础行),我们得到
\[\begin{pmatrix}
2&3&1&-3&-7\\
1&2&0&-2&-4\\
3&-2&8&3&0\\
2&-3&7&4&3
\end{pmatrix}\sim
\begin{pmatrix}
1&2&0&-2&-4\\
2&3&1&-3&-7\\
3&-2&8&3&0\\
2&-3&7&4&3
\end{pmatrix}\]

然后,将下方的数字全部变成 0 ,那么将第一行乘以 -2 加到第二行,乘以 -3 加到第三行,乘以 -2 加到第四行,得到
\[
\begin{pmatrix}
1&2&0&-2&-4\\
2&3&1&-3&-7\\
3&-2&8&3&0\\
2&-3&7&4&3
\end{pmatrix}\sim
\begin{pmatrix}
1&2&0&-2&-4\\
0&-1&1&1&1\\
0&-8&8&9&12\\
0&-7&7&8&11
\end{pmatrix}
\]

现在第一列化完了,该化第二列了。我们看到,第二列里,最简单的是 -1,它就在第二行里,就不用交换了。现在将第二行乘以 -8 加到第三行,乘以 -7 加到第四行,得到

\[\begin{pmatrix}
1&2&0&-2&-4\\
0&-1&1&1&1\\
0&-8&8&9&12\\
0&-7&7&8&11
\end{pmatrix}\sim
\begin{pmatrix}
1&2&0&-2&-4\\
0&-1&1&1&1\\
0&0&0&1&4\\
0&0&0&1&4
\end{pmatrix}
\]

现在该第三列了。但是因为第三列里,第三个元素之后都是 0 ,所以从阶梯形的定义,我们不需要对它进行运算。阶梯形里,第三个阶梯的第一个非 0 元在第四列,所以下一个是第四列,第四列里,第三个元素是 1 ,所以也不用交换行了,将第三行乘以 -1 加到第四行,就得到了
\[\begin{pmatrix}
1&2&0&-2&-4\\
0&-1&1&1&1\\
0&0&0&1&4\\
0&0&0&1&4
\end{pmatrix}\sim
\begin{pmatrix}
1&2&0&-2&-4\\
0&-1&1&1&1\\
0&0&0&1&4\\
0&0&0&0&0
\end{pmatrix}
\]

现在已经是行阶梯形了,如果要化成行最简,那么每一个阶梯的第一个非 0 元的上方也应该化成 0 。这个时候,就是从最后一个阶梯开始。我们看,最后一个阶梯的第一个非 0 元在第四列,第三行。所以,将第三行乘以 -1 加到第二行,乘以 2 加到第一行,我们得到了
\[\begin{pmatrix}
1&2&0&-2&-4\\
0&-1&1&1&1\\
0&0&0&1&4\\
0&0&0&0&0
\end{pmatrix}\sim
\begin{pmatrix}
1&2&0&0&4\\
0&-1&1&0&-3\\
0&0&0&1&4\\
0&0&0&0&0
\end{pmatrix}
\]

同理,将第二行乘以 2 加到第一行,得到了
\[\begin{pmatrix}
1&2&0&0&4\\
0&-1&1&0&-3\\
0&0&0&1&4\\
0&0&0&0&0
\end{pmatrix}\sim
\begin{pmatrix}
1&0&2&0&-2\\
0&-1&1&0&-3\\
0&0&0&1&4\\
0&0&0&0&0
\end{pmatrix}
\]

最后,将每一个阶梯的第一个非 0 元化成 1 。为此,只需要将第二行乘以 -1 ,我们的工作就完成了。
\[\begin{pmatrix}
1&0&2&0&-2\\
0&-1&1&0&-3\\
0&0&0&1&4\\
0&0&0&0&0
\end{pmatrix}
\sim\begin{pmatrix}
1&0&2&0&-2\\
0&1&-1&0&3\\
0&0&0&1&4\\
0&0&0&0&0
\end{pmatrix}
\]