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有理函数的积分,并非只有部分分式法

这篇文章我们考虑两个积分

\[\int\frac{1}{x^7-x}dx,\qquad \int\frac{x^2-1}{x^4+1}\]

这是两个有理函数的积分。我在之前的文章里说过 ,有理函数的积分,一般采用部分分式法,就是将有理函数分解成四种简单分式之和,然后对简单分式分别积分就行。对于有理函数的积分,总是能采用这种方法求得出它们的积分 (参见 不定积分求法总结)。 读者可以先试试用部分分式法求这两个积分,看看能不能积出来,需要花费多长时间。

我们的问题是,部分分式积分法对有理函数并不总是最有效的,对于有些有理函数,采用其它的方法或许会更有效。我们来看第一个积分

\[\int\frac{1}{x^7-x}dx\]

对于这一个积分 ,如果采用部分分式法来积分 ,我们来看一下需要哪些步骤:

\[ \frac{1}{x^7-x} =\frac{1}{x(x^3-1)(x^3+1)}=\frac{1}{x(x-1)(x^2+x+1)(x+1)(x^2-x+1)}\]

那么它的部分分式就该有五部分

\[\frac{A_1}{x}, \frac{A_2}{x-1},\frac{A_3}{x+1},\frac{B_1x+C_1}{x^2+x+1},\frac{B_2x+C_2}{x^2-x+1}\]

光是求这些系数就够烦琐的了,而且最后两个二次分式的积分还需要分成两个积分来求 。虽然这也能求出最后的积分,但这中间的过程绝不是一件有趣的事。

其实,这样的积分 ,我们有一种更有效,更简单的方式来求。我们来看解答。

解:积分可以写成

\[\int\frac{1}{x^7-x}dx=\int\frac{1}{x^7(1-\frac{1}{x^6})}dx\]

如果我们令 \(u= 1-\frac{1}{x^6} \),则 \(du=\frac{6}{x^7}\),则上式变为

\[\begin{align*} \int\frac{1}{x^7(1-\frac{1}{x^6})}dx &=\frac{1}{6}\int\frac{6}{x^7}\frac{1}{1-\frac{1}{x^6}}dx\\ &= \int\ \frac{1}{6}\frac{1}{u}du\\ &=\frac{1}{6}\ln|u|+c \\ &=\frac{1}{6}\ln|1-\frac{1}{x^6}|+c\end{align*}\]

我们来看第二个例子。

\[\int\frac{x^2-1}{x^4-1}dx\]

解:这个积分初看起来,甚至都不知道怎么对分式进行分解(当然是可以进行分解的,只是不那么明显而已,你可以试一试)。但即使是我们找到了它的分解方式,使用部分分式法来求这个积分,也不是最有效的。 我们来看一下如何简便地求出这个积分。我们先对分子分母同除以 \(x^2\),得到了

\[\int\frac{1-\frac{1}{x^2}}{x^2+\frac{1}{x^2}}dx\]

再对分母配方,我们得到

\[\int\frac{ 1-\frac{1}{x^2} }{(x+\frac{1}{x})^2-2}dx\]

这个时候注意到 \(\left( x+\frac{1}{x} \right)’= 1-\frac{1}{x^2} \),所以我们可以用代换 \(u= x+\frac{1}{x} \),从而积分可以变成

\[\int\frac{du}{u^2-2}\]

这时候我们再用部分分式 \[ \frac{1}{u^2-2}=\frac{1}{(u-\sqrt{2})(u+\sqrt{2})}=\frac{A}{u-\sqrt2}+\frac{B}{u+\sqrt2} \]

求出 \(A,B\),我们得到 \(A=\frac{1}{2\sqrt2}, B=-\frac{1}{2\sqrt2}\)。所以积分 变为

\[ \begin{align*}\int\frac{du}{u^2-2} &= \frac{1}{2\sqrt2} \int\frac{du}{u-\sqrt2}- \frac{1}{2\sqrt2} \int\frac{du}{u+\sqrt2}\\ &= \frac{1}{2\sqrt2}( \ln|u-\sqrt2|+\ln|u+\sqrt2|)+C\\ &= \frac{1}{2\sqrt2} \ln\left|\frac{u-\sqrt2}{u+\sqrt2} \right|+C \end{align*}\]

代回原来变量,我们得到了

\[\int\frac{x^2-1}{x^4+1}dx= \frac{1}{2\sqrt2} \ln\left|\frac{x+\frac{1}{x}-\sqrt2}{x+\frac{1}{x}+\sqrt2} \right|+C \]

最后,我们看看,如果要用部分分式法求解,如何对被积函数进行分解。我们需要对分母进行配方

\[\begin{align*}\frac{x^2-1}{x^4+1}&=\frac{x^2-1}{(x^4+2x^2+1)-2x^2}\\ &=\frac{x^2-1}{(x^2+1)^2-2x^2}\\ &= \frac{x^2-1}{(x^2+1-\sqrt{2}x)(x^2+1-\sqrt{2}x)}\\ &= \frac{A_1x+B_1}{x^2+1-\sqrt{2}x}+\frac{A_2x+B_2}{x^2+1-\sqrt{2}x} \end{align*}\]

剩下的部分留给读者去完成 。

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当旋转轴不是坐标轴时,如何求旋转体的体积?

我们知道,\(y=f(x), a\le x\le b\) 绕 \(x\) 轴旋转时,我们用切片法(参见切片法求旋转体的体积)求得它的体积为

\[V=\int_a^b \pi f^2(x)dx\]

当它绕 \(y\) 轴旋转时,我们用圆桶法(参见圆桶法求旋转体的体积)求得它的体积为

\[V=\int_a^b2\pi xf(x)dx\]

同样的分析,我们可以求得 \(x=g(y), c\le y\le d\) 分别绕 \(x\) 轴和 \(y\) 轴旋转时的旋转体体积

\[V_x=\int_c^d2\pi y g(y)dy,\quad V_y=\int_c^d\pi g^2(y)dy\]

那么,如果旋转轴不是坐标轴,那旋转体的体积怎么算呢?我们可以同样用切片法或者圆桶法来求得它们的体积。我们用例子来说明这些方法。

例1,求由曲线 \(y=x, y=\sqrt{x}\) 所围成的图形分别绕 \(y=-1\) 和 \(x=-1\) 旋转所得的旋转体的体积。

解:我们先求绕 \(y=-1\) 旋转的旋转体的体积。我们可以用外层的曲线旋转围出来的体积减去内层曲线旋转围出来的体积。对任何 \(0\le x\le 1\),外层曲线旋转的截面的半径为 \(y-(-1)=x+1\), 内层曲线旋转的截面的半径为 \(y-(-1)=\sqrt{x}+1\),所以由切片法, 我们得到旋转面的面积为

\[V_x=\pi\int_0^1[(x+1)^2-(\sqrt{x}+1)^2]dx\]

现在我们用圆桶法求绕 \(x=-1\) 旋转所得的体积。我们还是用外层曲线绕出来的体积减去内层曲线绕出来的体积。对任何 \(0\le x\le 1\), 圆桶的内径为 \(x-(-1)=x+1\),外径为 \(x+\Delta x-(-1)=x+1+\Delta x\),高为 \(x-\sqrt{x}\) (上曲线减下曲线)所以圆桶壁的体积近似为

\[\pi( x+1+\Delta x )^2( x-\sqrt{x} )- \pi( x+1 )^2( x-\sqrt{x} )=2\pi (x+1)( x-\sqrt{x} )\Delta x+\pi\Delta^2x( x-\sqrt{x} ) \]

略去高阶无穷小,圆桶壁的体积近似于

\[ 2\pi (x+1)( x-\sqrt{x} )\Delta x \]

求和之后再求极限,就是定积分

\[V_y=\int_0^12\pi(x+1)( x-\sqrt{x} )dx\]

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已知函数的切线过曲线外一点,如何求该切线的方程?

假如函数\(y=f(x)\) 的一条切线过点 \((a,b)\),如何求这条切线的方程?

这样的题通常有点迷惑性,有些同学经常是求出函数的导数后,想都不想就把 \((a,b)\) 的值代入到切线的方程里去,自然就求出了一个错误的方程。另外,这样的题也稍微有一点难度,纵然知道怎么求,也需要花一点点时间来计算。

我们用一个例子说明如何求这样的切线。

例:已知曲线 \(y=\frac{1}{x}\) 的切线过点 \((4,0)\) ,求该切线的方程。

解:这种题的迷惑性在于,它并没有直接说点 \((4,0)\) 不在曲线上,这使得不少的同学直接把它当成直线上的点来计算切线的方程。当然这个例子,比较明显这个点不在直线上。那我们来看一看如何处理这种题型。

我们假设切线与曲线相切于点 \((x_0,y_0)\),则切线的方程为

\[y-y_0=f'(x_0)(x-x_0)\]

我们求出函数的一阶导数为 \(f'(x)=-\frac{1}{x^2}\)。所以曲线在该点的切线方程为

\[ y-y_0=-\frac{1}{x_0^2}(x-x_0) \]

因为 \((x_0,y_0)\) 在曲线上,所以有 \(y_0=\frac{1}{x_0}\),所以切线方程为

\[y= -\frac{x}{x_0^2}+\frac{2}{x_0} \]

又因为切线过点 \((4,0)\) ,所以切线方程又可以写成

\[ y= -\frac{1}{x_0^2}(x-4) \]

将这两个方程比较 ,我们得到

\[ \frac{2}{x_0} = \frac{4}{x_0^2} \]

两边同乘以 \(x_0^2\),我们得到 \(x_0=2\),代入到上面任何一个切线方程里,就可以得到切线的方程为

\[y=-\frac{1}{4}x+1\]

对于这种类型的题目,关键步骤是求出切点的坐标。求切点坐标的方法就是将导数给出的切线方程与用已给点的导出直线方程做比较。只要求出切点,切线的方程就出来了。

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如何求矩阵的逆矩阵?

求逆矩阵最有效的方法是初等变换法(虽然还有别的方法)。如果要求方阵 \(A\) 的逆矩阵,标准的做法是:

  • 将矩阵 \(A\) 与单位矩阵 \(I\) 排成一个新的矩阵 \((A \quad I)\)
  • 将此新矩阵 \(( A \quad I )\) 做初等行变换,将它化成 \(( I \quad B )\) 的形式
  • \(B=A^{-1}\)

若 \(A\) 是一个二阶方阵

\[A=\begin{pmatrix}a&b\\ c&d\end{pmatrix}\]

则它的逆矩阵可以直接使用公式

\[A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d&-b\\ -c&a\end{pmatrix}\]

来计算。我们来看几个例子。

例1:求二阶矩阵

\[A=\begin{pmatrix}8&6\\ 5&4\end{pmatrix}\]

的逆矩阵。

解:因为矩阵是二阶矩阵,我们可以直接利用二阶逆矩阵的公式来求解。

\[\begin{align*}A^{-1}&=\frac{1}{8\cdot4-6\cdot5}\begin{pmatrix}4&-6\\ -5&8\end{pmatrix} \\& =\frac{1}{2}\begin{pmatrix} 4&-6\\ -5&8 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 2&-3\\ -\frac{5}{2}&4 \end{pmatrix}\end{align*}\]

例2:求矩阵

\[A= \begin{pmatrix} 1&0&-2\\ -3&1&4\\ 2&-3&4\end{pmatrix} \]

的逆矩阵。

解:这是一个三阶的矩阵,最简便有效的方法是初等变换法。(你可以试试用伴随矩阵的方法来求,计算量比初等变换法相差多大)我们将矩阵与单位矩阵排在一起,然后做初等变换

\[\begin{align*}(A\quad I)&=\begin{pmatrix} 1&0&-2&\vdots&1&0&0\\ -3&1&4 &\vdots& 0&1&0\\ 2&-3&4 &\vdots& 0&0&1\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix} 1&0&-2&\vdots&1&0&0\\ 0&1&-2 &\vdots& 3&1&0\\ 0&-3&8 &\vdots& -2&0&1\end{pmatrix}\\ &\sim \begin{pmatrix} 1&0&-2&\vdots&1&0&0\\ 0&1&-2 &\vdots& 3&1&0\\ 0&0&2 &\vdots& 7&3&1\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix} 1&0&0&\vdots&8&3&1\\ 0&1&0 &\vdots& 10&4&1\\ 0&0&2 &\vdots& 7&3&1\end{pmatrix}\\&\sim \begin{pmatrix} 1&0&0&\vdots&8&3&1\\ 0&1&0 &\vdots& 10&4&1\\ 0&0&1 &\vdots& \frac{7}{2}&\frac{3}{2}&\frac{1}{2}\end{pmatrix} \end{align*}\]

所以我们得到

\[A^{-1}= \begin{pmatrix} 8&3&1\\ 10&4&1\\\frac{7}{2}&\frac{3}{2}&\frac{1}{2}\end{pmatrix} \]

我们看到的这个矩阵是三阶的,利用初等变换计算逆矩阵已经比伴随矩阵法少了很多的计算量了。实际上,矩阵的阶数越高,节约下来的计算量越多。利用伴随矩阵计算逆矩阵,三阶矩阵的话,需要计算一个三阶行列式,九个二阶行列式。四阶的话,需要计算一个四阶行列式,十六个三阶行列式,手算的话,已经让人难以接受了。

我们来看一个四阶矩阵的逆矩阵。

例3:求矩阵

\[A=\begin{pmatrix}1&2&3&4\\ 2&3&1&2\\ 1&1&1&-1\\ 1&0&-2&-6\end{pmatrix}\]

的逆矩阵。

解:我们将下述矩阵做初等变换

\[ \begin{align*} (A\quad I)&= \begin{pmatrix}1&2&3&4 &\vdots &1&0&0&0\\ 2&3&1&2 &\vdots &0&1&0&0\\ 1&1&1&-1 &\vdots &0&0&1&0\\ 1&0&-2&-6 &\vdots &0&0&0&1\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix} 1&0&-2&-6 &\vdots &0&0&0&1\\ 2&3&1&2 &\vdots &0&1&0&0\\ 1&1&1&-1 &\vdots &0&0&1&0\\ 1&2&3&4 &\vdots &1&0&0&0 \end{pmatrix} \\& \sim \begin{pmatrix} 1&0&-2&-6 &\vdots &0&0&0&1\\ 0&3&5&14 &\vdots &0&1&0&-2\\ 0&1&3&5 &\vdots &0&0&1&-1\\ 0&2&5&10 &\vdots &1&0&0&-1 \end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix} 1&0&-2&-6 &\vdots &0&0&0&1\\ 0&1&3&5 &\vdots &0&0&1&-1 \\ 0&3&5&14 &\vdots &0&1&0&-2 \\ 0&2&5&10 &\vdots &1&0&0&-1 \end{pmatrix}\\&\sim \begin{pmatrix} 1&0&-2&-6 &\vdots &0&0&0&1\\ 0&1&3&5 &\vdots &0&0&1&-1 \\ 0&0&-4&-1 &\vdots &0&1&-3&1 \\ 0&0&-1&0 &\vdots &1&0&-2&1 \end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix} 1&0&-2&-6 &\vdots &0&0&0&1\\ 0&1&3&5 &\vdots &0&0&1&-1 \\ 0&0&-1&0 &\vdots &1&0&-2&1 \\ 0&0&-4&-1 &\vdots &0&1&-3&1 \end{pmatrix}\\&\sim \begin{pmatrix} 1&0&-2&-6 &\vdots &0&0&0&1\\ 0&1&3&5 &\vdots &0&0&1&-1 \\ 0&0&-1&0 &\vdots &1&0&-2&1 \\ 0&0&0&-1 &\vdots &-4&1&5&-3 \end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix} 1&0&-2&0 &\vdots &24&-6&-30&19\\ 0&1&3&0 &\vdots &-20&5&26&-16 \\ 0&0&-1&0 &\vdots &1&0&-2&1 \\ 0&0&0&-1 &\vdots &-4&1&5&-3 \end{pmatrix} \\ &\sim \begin{pmatrix} 1&0&0&0 &\vdots &22&-6&-26&17\\ 0&1&0&0 &\vdots &-17&5&20&-13 \\ 0&0&-1&0 &\vdots &1&0&-2&1 \\ 0&0&0&-1 &\vdots &-4&1&5&-3 \end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix} 1&0&0&0 &\vdots &22&-6&-26&17\\ 0&1&0&0 &\vdots &-17&5&20&-13 \\ 0&0&1&0 &\vdots &-1&0&2&-1 \\ 0&0&0&1 &\vdots &4&-1&-5&3 \end{pmatrix} \end{align*}\]

所以,我们得到

\[A^{-1}= \begin{pmatrix} 22&-6&-26&17\\ -17&5&20&-13 \\ -1&0&2&-1 \\ 4&-1&-5&3 \end{pmatrix} \]

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如何求一个向量组的极大无关组,以及如何用极大无关组线性表示其它向量?

我们求向量的极大无关组,并且把其它向量用极大无关组表示的方法和步骤是:

  • 首先将所有列向量排成一个矩阵(如果是行向量, 先转置成列向量);
  • 将所得到的矩阵作初等行变换,化成行最简矩阵;
  • 每个非零行的第一个非零元(\(1\))所在的列,所对应原矩阵的列向量,就是极大无关组的向量,所有这些向量组成了极大无关组;
  • 行最简矩阵的列向量之间的关系,与原矩阵的列向量组之间的关系是一样的。也就是说,极大无关组与其它向量的关系,与行最简矩阵里列向量的关系一样。

这里我们说明一下:极大无关组可以有不同的选择,但是我们这里的选择方式比较直观,不容易出错,而且向量之间的关系一目了然,最容易计算,易于操作。

现在我们举例说明如何使用这种方法。

例:设有向量组

\[\vec{a}_1=\begin{pmatrix}1\\1\\-2\\4\end{pmatrix},\quad \vec{a}_2=\begin{pmatrix}-2\\-1\\0\\1\end{pmatrix},\quad \vec{a}_3=\begin{pmatrix}9\\6\\-6\\9\end{pmatrix},\quad \vec{a}_4=\begin{pmatrix}5\\5\\1\\1\end{pmatrix},\quad \vec{a}_5=\begin{pmatrix}4\\-3\\-2\\-9\end{pmatrix}\]

求该向量组的一个极大无关组,并把其它向量用极大无关组表示。

解:我们先把向量组排成一个矩阵

\[A=( \vec{a}_1 \quad \vec{a}_2 \quad \vec{a}_3 \quad \vec{a}_4 \quad \vec{a}_5 )=\begin{pmatrix} 1&-2&9&5&4\\ 1&-1&6&5&-3\\ -2&0&-6&1&-2\\ 4&1&9&1&9 \end{pmatrix}\]

对此矩阵作初等变换,将矩阵化成行最简矩阵 (省去中间步骤) ,我们有

\[\begin{align*}A=\begin{pmatrix} 1&-2&9&5&4\\ 1&-1&6&5&-3\\ -2&0&-6&1&-2\\ 4&1&9&1&9 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 1&0&3&0&0\\ 0&1&-3&0&-7\\ 0&0&0&1&-2\\ 0&0&0&0&0 \end{pmatrix} \end{align*}\]

我们看到,非零行是一、二、三行,第一行第一个非零元在第一列,它对应 \(\vec{a}_1\),第二行的第一个非零元在第二列,它对应 (\vec{a}_2\),第三行的第一个非零元在第四列,它对应 (\vec{a}_4\),所以原向量组的一个极大无关组为

\[ \vec{a}_1=\begin{pmatrix}1\\1\\-2\\4\end{pmatrix},\quad \vec{a}_2=\begin{pmatrix}-2\\-1\\0\\1\end{pmatrix},\quad \vec{a}_4=\begin{pmatrix}5\\5\\1\\1\end{pmatrix} \]

现在我们将 \( \vec{a}_3 , \vec{a}_5\) 用极大无关组表示。因为在行最简矩阵里,第三列与第一、二、四列的关系为

\[\begin{pmatrix}3\\-3\\0\\0\end{pmatrix}=3\begin{pmatrix}1\\0\\0\\0\end{pmatrix}-3 \begin{pmatrix}0\\1\\0\\0\end{pmatrix} \]

所以

\[\vec{a}_3=3\vec{a}_1-3\vec{a}_2,\quad \text{即} \begin{pmatrix}9\\6\\-6\\9\end{pmatrix} =3 \begin{pmatrix}1\\1\\-2\\4\end{pmatrix} -3 \begin{pmatrix}-2\\-1\\0\\1\end{pmatrix} \]

再从行最简矩阵第五列与第一、二、四列的关系

\[\begin{pmatrix}14\\-7\\-2\\0\end{pmatrix}=-7 \begin{pmatrix}0\\1\\0\\0\end{pmatrix} -2 \begin{pmatrix}0\\0\\1\\0\end{pmatrix} \]

知道

\[\vec{a}_5=-7\vec{a}_2-2\vec{a}_4,\quad \text{即} \begin{pmatrix}4\\-3\\-2\\-9\end{pmatrix} =-7 \begin{pmatrix}-2\\-1\\0\\1\end{pmatrix}-2 \begin{pmatrix}5\\5\\1\\1\end{pmatrix} \]

可以验算一下,这两个表示式是正确的。

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一阶线性微分方程的积分因子法

对于一阶线性微分方程\[y’+p(x)y=f(x)\]来说,一般教材采用常数变易来导出解的公式。事实上,我们也可以使用积分因子法来求解这类方程。

积分因子法的基本思想就是,将方程乘以 一个函数,将方程的右边变成一个函数的导数,然后两边积分,就可以求出未知函数了。

对于 一阶线性微分方程来说,积分因子是比较好找的,因为含有未知函数的就只有两项,导数含有两项的就是两个函数的乘积了。

我们假设方程有一个积分因子\(\mu(x)\),我们现在将它找出来。将它乘以方程两边,我们得到

\[\mu(x)y’+\mu(x)p(x)y=\mu(x)f(x)\]

因为第一项是 \(\mu(x)y’\),所以右边只能是 \((\mu(x)y)’\),利用乘积求导法则,我们知道 \(\mu(x)p(x)=\mu'(x)\),利用分离变量法,可以求出它的一个解

\[\mu(x)=e^{\int p(x)dx}\]

也就是说,这个积分因子是\( e^{\int p(x)dx}\),将它乘以方程两边,我们得到

\[( e^{\int p(x)dx} y)’= e^{\int p(x)dx} f(x)\]

两边积分 ,我们得到

\[ e^{\int p(x)dx} y =\int e^{\int p(x)dx} f(x) +C \]

再将两边乘以 \( e^{-\int p(x)dx} \),就得到了方程的解

\[ y = e^{-\int p(x)dx} \left(\int e^{\int p(x)dx} f(x) +C\right) \]

这个公式 ,与我们用常数变易法求得的公式是一致的。

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如何用配方法将不含平方项的二次型化成标准形?

一般情况下,我们使用配方法化二次型为标准形的时候,用的是完全平方公式 \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\),如果多项式里有 \(a^2+2ab\),那么我们可以通过加一项 \(b^2\) 再减一项 \(b^2\) 的方法达到将这两项化成只剩下平方项的目的。也就是说

\[a^2+2ab=a^2+2ab+b^2-b^2=( a^2+2ab+b^2 )-b^2=(a+b)^2-b^2\]

这样,就只剩下两个平方项了。只要令 \(x=(a+b),y=b\),上式就可以变成\(x^2-y^2\),就是一个标准的二次型。

但是有些二次型,没有平方项,只有混合项,那么这个方法就不可以用了。那么怎么办呢?这个时候我们可以利用平方差公式,\((a+b)(a-b)=a^2-b^2\)将混合项化成标准形。例如,只有一项 \(x_1x_2\),那么令 \(x_1=y_1+y_2, x_2=y_1-y_2\),那么 \(x_1x_2=(y_1+y_2)(y_1-y_2)=y_1^2-y_2^2\)。这就是将不含平方项的二次型化成标准形的方法。

我们来看一个例子:用配方法将二次型

\[f(x_1,x_2,x_3)=x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3\]化成标准形。

解:令 \(x_1=y_1+y_2, x_2=x_1-y_2, x_3=y_3\),则

\[ \begin{align*}f=x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3 &=(y_1+y_2)(y_1-y_2)+(y_1+y_2)y_3+(y_1-y_2)y_3\\ &=y_1^2-y_2^2+2y_1y_3\end{align*}\]

再对 \(y_1,y_3\) 进行配方,因为 \(y_1^2+2y_1y_3=(y_1+y^3)^2-y_3^2\),所以只要令 \(z_1=y_1+y_3, z_2=y_2, z_3=y_3\),则二次型变成\[f=z_1^2-z_2^2-z_3^2\]

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线性代数怎么学

  1. 线性代数的基本计算技巧是初等(行)变换。线性代数里需要用到初等变换的地方太多了,基本上贯穿了整个课程。例如解线性方程组,求逆矩阵,求特征向量,判定向量组的线性相关性等等。 初等变换的基本技术有两点:其一、按列进行,先将第一列除第一个数字外,全部化成零。然后第二列,第三列等等进行。其二,每次找个最简单的数字所在的行做为基本行,进行变换。当然最简单的数学莫过于 \(1\) 了。

    这里有详细的视频教程讲解如何进行有效的初等变换:矩阵初等变换的方法与技巧

  2. 线性代数的基本理论是线性方程组的理论。它是其它理论的基础。例如可以用它来判定向量组的线性相关性,可以用来求特征向量,可以用来判定矩阵是否可逆,可以确定一个向量是不是其它向量的线性组合等等。 线性方程组的基本理论有两个方面,解的结构和求解方法。求解方法就是高斯消元法,也就是初等变换的方法。 而解的结构,又有两个方面。齐次方程 \(A{\vec x}=0\) 和非齐次方程 \(A{\vec x}={\vec b}\)。
    • 齐次方程:
      • 方程组有非零解的充分必要条件是 \(\text {Rank} (A) < n\) 。其中 \(\text {Rank} (A)\) 可以简单地认为是行变换后,阶梯形(REF)矩阵中非零行的行数。\(n\) 是方程中未知元的个数。
      • 齐次方程组只有零解的条件是 \(\text {Rank} (A) = n\)
    • 非齐次方程:
      • 方程组无解的条件是 \(\text {Rank} (A) < \text {Rank} (A,{\vec b})\)
      • 方程组有唯一解的条件是 \(\text {Rank} (A) = \text {Rank} (A,{\vec b}) = n\)
      • 方程组有无穷多个解的条件是 \(\text {Rank} (A) = \text {Rank} (A,{\vec b}) < n\)
      • 方程组的通解为 \({\vec x}={\vec x_h}+{\vec \eta}\),其中 \(\vec x_h\) 是 \(A{\vec x}=0\) 的通解,\(\vec \eta\) 是非齐次方程 \(A{\vec x}={\vec b}\) 的一个(特)解。
    • 这里我们总结了线性方程组的求法:解线性方程组
  3. 第二个计算技巧是行列式的计算。在计算特征值的时候,一定会用到行列式的计算。另外,还可以用行列来判定矩阵是否可逆,向量组是否相关,还可以判定方程组有解、无解或者有无穷多个解等等。
  4. 线性方程组应用比较多的方面是特征值与特征向量,这个一定要会。在矩阵的对角化,解常微分方程组,随机过程等等方面都有应用。这部分的内容的计算,都是应用行列式和方程组的计算。
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如何理解极限的严格定义?

初学高等数学(或者微积分)的同学,都会觉得极限的严格定义非常难以理解。我们来试着解释一下,如何才能比较好的理解它。

我们先来回顾一下极限的严格定义:对任何的 \epsilon>0,存在 \delta>0,使得当 0<|x-a|<\delta 的时候, 不等式 |f(x)-A|<\epsilon 成立。我们就说 A 是函数 f(x)x 趋近于 a 时的极限。

第一次看到这样的定义的时候,往往连句子都读不通顺,更别说里面的数学含义了。我们更习惯的是极限的直观定义:当 x 越来越接近于 a 时,f(x) 越来越接近数 A,我们就说当 x 趋近于 a 的时候 ,函数 f(x) 的极限是 A.

举个例子,当 x 越来越接近于 2 时, x^2 越来越接近于 4,我们就说 4x^2x 趋近于 2 时的极限。

这样的句子我们比较能够接受,也容易理解。问题是,这样的表述在数学上是不严谨的。“越来越接近”是多接近?这在数学上是不能够被接受的。

稍微数学(严格)一点的说法是:当 x 充分接近 a 时,函数 f(x) 可以无限接近于 A,……。当然这样的句子我们还是能够理解,知道意思跟前面的直观定义也差不多。但还是不够。

事实上,极限的严格定义只是将我们的直观定义用数学语言描述了一遍,我们仍然可以是直观的定义去理解。

我们说 x 充分接近于 a,那么就是说 xa 的距离足够近,而描述距离的数学方式,就是两个数之差的绝对值;足够近,就是两个数的距离足够小,而足够小就是它的值应该小于某个很小的数,这个数就是我们要找的 \delta

那么如何用数学语言或者数学式子描写“无限接近”?我们刚才讲了“接近” 就是距离,那么无限接近是什么?就是距离可以无限小。那么如何描写无限小?我们知道距离是正数,如果距离无限小,就是距离无限接近于 0。距离无限接近于 0,而又因为 0 小于任何正数,所以距离无限小就是它可以小于任何正数。所以说对于任何正数 \epsilon|f(x)-A|<\epsilon,那么 f(x) 就是无限接近于 A 了。

所以说,极限的严格定义,只是将我们以前的直观定义用严格的数学语言重新表述了一遍而已,我们大可以从前的直观定义来理解极限,而不用纠结于这个严格的定义。因为即使不理解这个定义,也不影响你后续内容的学习。

相关内容的视频可以在这里找到:极限的严格定义

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高等数学(微积分)如何学才不痛苦?

经常有学生或者家长跟我说(当年)学习高等数学或微积分时是多么的痛苦,多么的绝望。 甚至有同学发出“学完高数以后我再也不学数学了”的感叹。 确实 ,高等数学里面有不少的的定义、定理非常抽象、语言晦涩 难懂 。要弄懂这些内容确实是让人抓狂的事。

事实上,我们学习高数不用这么痛苦,可以很高效,比较轻松地学习好它的核心内容的。只要我们把握好几个原则就可以做到。

第一个原则就是:专注于计算,抽象的定义与理论先放一边。

高数,本质上就是微积分,很多课程 直接叫微积分。而微积分就是一种计算方法,它主要就是讲的这种计算方法以及它的应用。所以只要掌握了微积分的计算与它们的应用,也就掌握了高数这门课程。

高数或者微积分里面有些定义和定理确实很难,但如果确实弄不明白,先放一边,或许学到后面能明白,但实在不明白也没关系,根本不影响后面的学习。

举例来说,极限的严格定义:对所有的 \epsilon>0,存在 \delta>0,使得当0<|x-a|<\delta 时,不等式 |f(x)-A|<\epsilon 成立,我们称 Af(x)x 趋近于 a 时的极限。

很多同学看到这一段话,估计就懵了。不要说里面的数学,就是想把这段话读顺都不容易,太拗口了,逻辑顺序都难弄得清。但实际上,没有弄懂这个定义,完全没有影响的后面的学习。对于极限,我们只需要理解它的直观定义就够了:当 x 不断靠近 a 的时候, f(x) 无限靠近 A,我们就说 Af(x)x 趋近于 a 时的极限。

如果我们把这个定义完全用数学符号写出来,那更受不了:\forall \epsilon>0, \exists \delta>0, 使得当 0<|x-a|<\delta 时,不等式 |f(x)-A|<\epsilon 成立,我们称 Af(x)x 趋近于 a 时的极限。

顺带说一句,极限的这个严格定义,是分析学里的一个核心概念,它还在实变函数,泛函分析里面起到基础的作用。哪怕是数学系学了几年的学生,都不一定能把这个定义完全弄明白,所以第一次学,弄不懂是很正常的事。

我们的第二个原则是:学好三种计算,求极限,求导数,求不定积分

我们前面讲了,微积分就是计算,要学好微积分就要专注于计算。而微积分里的计算基本上都离不开这三种计算。以不定积分来说,定积分基本上可以用不定积分法来求,重积分是用定积分来求,曲线积分和曲面积分也都是用定积分来求。

这三种计算,求导数还好,基本上是套公式。十几个基本求导公式再加上几个求导法则,套上去,基本上就求出来了。这里我稍微提一下,基本的求导公式不要去背,很容易背混的。要边做题边记,最后能够不看公式,就能做完做对,那么公式就记下来了。

求极限的方法很多,十几种,四则运算,几种初等的方法,两个重要极限,洛必达法则是最常用的几种。会了这几种,可以对付绝大部分的极限了。但即使只用这几种方法,要熟练掌握也得花一点功夫,因为你事先并不知道哪一个极限要用哪一个方法来求,只有足够熟练了,才能一眼看出该用哪一个方法。

不定积分的求法是这三种计算里面最复杂也是最重要计算。看起来不定积分只有三种方法:第一类换元,第二类换元和分部积分。但是怎么换,第一类换元还是第二类换元,换哪一个,还是分部积分;或者是先换元再分部还是先分部再换元,都是需要很多练习以后才能熟练掌握的。另外再加上三角函数的恒等变换,有理函数的分解,都使得不定积分变得异常复杂。

虽然不定积分这么复杂,但我可以说,掌握了不定积分也就掌握了微积分。因为只要掌握了不定积分,导数就掌握了,定积分也掌握了。不定积分是求导的逆运算,就象掌握了除法,乘法肯定没问题。又因为有了牛顿-莱布尼兹公式,求定积分无非就是求一个不定积分,再代函数值而已。

我们的第三个原则是:学会微积分的应用

一元微积分部分,导数的应用主要是洛必达法则,极大极小值和函数的性态(增减,凹凸);积分的应用主要是面积、体积。

多元微积分基本上是计算,应用上主要是多元函数的极值及拉格朗日条件极值。

遵守这三条原则,高数就没那么难了。

可以参看我们的视频课程:高数(上)视频课程高数(下)视频课程