标签： 线性代数

求逆矩阵最有效的方法是初等变换法（虽然还有别的方法）。如果要求方阵 \(A\) 的逆矩阵，标准的做法是：

• 将矩阵 \(A\) 与单位矩阵 \(I\) 排成一个新的矩阵 \((A \quad I)\)
• 将此新矩阵 \(( A \quad I )\) 做初等行变换，将它化成 \(( I \quad B )\) 的形式
• \(B=A^{-1}\)

若 \(A\) 是一个二阶方阵

\[A=\begin{pmatrix}a&b\\ c&d\end{pmatrix}\]

则它的逆矩阵可以直接使用公式

\[A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d&-b\\ -c&a\end{pmatrix}\]

来计算。我们来看几个例子。

例1：求二阶矩阵

\[A=\begin{pmatrix}8&6\\ 5&4\end{pmatrix}\]

的逆矩阵。

解：因为矩阵是二阶矩阵，我们可以直接利用二阶逆矩阵的公式来求解。

\[\begin{align*}A^{-1}&=\frac{1}{8\cdot4-6\cdot5}\begin{pmatrix}4&-6\\ -5&8\end{pmatrix} \\& =\frac{1}{2}\begin{pmatrix} 4&-6\\ -5&8 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 2&-3\\ -\frac{5}{2}&4 \end{pmatrix}\end{align*}\]

例2：求矩阵

\[A= \begin{pmatrix} 1&0&-2\\ -3&1&4\\ 2&-3&4\end{pmatrix} \]

的逆矩阵。

解：这是一个三阶的矩阵，最简便有效的方法是初等变换法。（你可以试试用伴随矩阵的方法来求，计算量比初等变换法相差多大）我们将矩阵与单位矩阵排在一起，然后做初等变换

\[\begin{align*}(A\quad I)&=\begin{pmatrix} 1&0&-2&\vdots&1&0&0\\ -3&1&4 &\vdots& 0&1&0\\ 2&-3&4 &\vdots& 0&0&1\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix} 1&0&-2&\vdots&1&0&0\\ 0&1&-2 &\vdots& 3&1&0\\ 0&-3&8 &\vdots& -2&0&1\end{pmatrix}\\ &\sim \begin{pmatrix} 1&0&-2&\vdots&1&0&0\\ 0&1&-2 &\vdots& 3&1&0\\ 0&0&2 &\vdots& 7&3&1\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix} 1&0&0&\vdots&8&3&1\\ 0&1&0 &\vdots& 10&4&1\\ 0&0&2 &\vdots& 7&3&1\end{pmatrix}\\&\sim \begin{pmatrix} 1&0&0&\vdots&8&3&1\\ 0&1&0 &\vdots& 10&4&1\\ 0&0&1 &\vdots& \frac{7}{2}&\frac{3}{2}&\frac{1}{2}\end{pmatrix} \end{align*}\]

所以我们得到

\[A^{-1}= \begin{pmatrix} 8&3&1\\ 10&4&1\\\frac{7}{2}&\frac{3}{2}&\frac{1}{2}\end{pmatrix} \]

我们看到的这个矩阵是三阶的，利用初等变换计算逆矩阵已经比伴随矩阵法少了很多的计算量了。实际上，矩阵的阶数越高，节约下来的计算量越多。利用伴随矩阵计算逆矩阵，三阶矩阵的话，需要计算一个三阶行列式，九个二阶行列式。四阶的话，需要计算一个四阶行列式，十六个三阶行列式，手算的话，已经让人难以接受了。

我们来看一个四阶矩阵的逆矩阵。

例3：求矩阵

\[A=\begin{pmatrix}1&2&3&4\\ 2&3&1&2\\ 1&1&1&-1\\ 1&0&-2&-6\end{pmatrix}\]

的逆矩阵。

解：我们将下述矩阵做初等变换

\[ \begin{align*} (A\quad I)&= \begin{pmatrix}1&2&3&4 &\vdots &1&0&0&0\\ 2&3&1&2 &\vdots &0&1&0&0\\ 1&1&1&-1 &\vdots &0&0&1&0\\ 1&0&-2&-6 &\vdots &0&0&0&1\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix} 1&0&-2&-6 &\vdots &0&0&0&1\\ 2&3&1&2 &\vdots &0&1&0&0\\ 1&1&1&-1 &\vdots &0&0&1&0\\ 1&2&3&4 &\vdots &1&0&0&0 \end{pmatrix} \\& \sim \begin{pmatrix} 1&0&-2&-6 &\vdots &0&0&0&1\\ 0&3&5&14 &\vdots &0&1&0&-2\\ 0&1&3&5 &\vdots &0&0&1&-1\\ 0&2&5&10 &\vdots &1&0&0&-1 \end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix} 1&0&-2&-6 &\vdots &0&0&0&1\\ 0&1&3&5 &\vdots &0&0&1&-1 \\ 0&3&5&14 &\vdots &0&1&0&-2 \\ 0&2&5&10 &\vdots &1&0&0&-1 \end{pmatrix}\\&\sim \begin{pmatrix} 1&0&-2&-6 &\vdots &0&0&0&1\\ 0&1&3&5 &\vdots &0&0&1&-1 \\ 0&0&-4&-1 &\vdots &0&1&-3&1 \\ 0&0&-1&0 &\vdots &1&0&-2&1 \end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix} 1&0&-2&-6 &\vdots &0&0&0&1\\ 0&1&3&5 &\vdots &0&0&1&-1 \\ 0&0&-1&0 &\vdots &1&0&-2&1 \\ 0&0&-4&-1 &\vdots &0&1&-3&1 \end{pmatrix}\\&\sim \begin{pmatrix} 1&0&-2&-6 &\vdots &0&0&0&1\\ 0&1&3&5 &\vdots &0&0&1&-1 \\ 0&0&-1&0 &\vdots &1&0&-2&1 \\ 0&0&0&-1 &\vdots &-4&1&5&-3 \end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix} 1&0&-2&0 &\vdots &24&-6&-30&19\\ 0&1&3&0 &\vdots &-20&5&26&-16 \\ 0&0&-1&0 &\vdots &1&0&-2&1 \\ 0&0&0&-1 &\vdots &-4&1&5&-3 \end{pmatrix} \\ &\sim \begin{pmatrix} 1&0&0&0 &\vdots &22&-6&-26&17\\ 0&1&0&0 &\vdots &-17&5&20&-13 \\ 0&0&-1&0 &\vdots &1&0&-2&1 \\ 0&0&0&-1 &\vdots &-4&1&5&-3 \end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix} 1&0&0&0 &\vdots &22&-6&-26&17\\ 0&1&0&0 &\vdots &-17&5&20&-13 \\ 0&0&1&0 &\vdots &-1&0&2&-1 \\ 0&0&0&1 &\vdots &4&-1&-5&3 \end{pmatrix} \end{align*}\]

所以，我们得到

\[A^{-1}= \begin{pmatrix} 22&-6&-26&17\\ -17&5&20&-13 \\ -1&0&2&-1 \\ 4&-1&-5&3 \end{pmatrix} \]

我们求向量的极大无关组，并且把其它向量用极大无关组表示的方法和步骤是：

• 首先将所有列向量排成一个矩阵（如果是行向量， 先转置成列向量）；
• 将所得到的矩阵作初等行变换，化成行最简矩阵；
• 每个非零行的第一个非零元（\(1\)）所在的列，所对应原矩阵的列向量，就是极大无关组的向量，所有这些向量组成了极大无关组；
• 行最简矩阵的列向量之间的关系，与原矩阵的列向量组之间的关系是一样的。也就是说，极大无关组与其它向量的关系，与行最简矩阵里列向量的关系一样。

这里我们说明一下：极大无关组可以有不同的选择，但是我们这里的选择方式比较直观，不容易出错，而且向量之间的关系一目了然，最容易计算，易于操作。

现在我们举例说明如何使用这种方法。

例：设有向量组

\[\vec{a}_1=\begin{pmatrix}1\\1\\-2\\4\end{pmatrix},\quad \vec{a}_2=\begin{pmatrix}-2\\-1\\0\\1\end{pmatrix},\quad \vec{a}_3=\begin{pmatrix}9\\6\\-6\\9\end{pmatrix},\quad \vec{a}_4=\begin{pmatrix}5\\5\\1\\1\end{pmatrix},\quad \vec{a}_5=\begin{pmatrix}4\\-3\\-2\\-9\end{pmatrix}\]

求该向量组的一个极大无关组，并把其它向量用极大无关组表示。

解：我们先把向量组排成一个矩阵

\[A=( \vec{a}_1 \quad \vec{a}_2 \quad \vec{a}_3 \quad \vec{a}_4 \quad \vec{a}_5 )=\begin{pmatrix} 1&-2&9&5&4\\ 1&-1&6&5&-3\\ -2&0&-6&1&-2\\ 4&1&9&1&9 \end{pmatrix}\]

对此矩阵作初等变换，将矩阵化成行最简矩阵 （省去中间步骤） ，我们有

\[\begin{align*}A=\begin{pmatrix} 1&-2&9&5&4\\ 1&-1&6&5&-3\\ -2&0&-6&1&-2\\ 4&1&9&1&9 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 1&0&3&0&0\\ 0&1&-3&0&-7\\ 0&0&0&1&-2\\ 0&0&0&0&0 \end{pmatrix} \end{align*}\]

我们看到，非零行是一、二、三行，第一行第一个非零元在第一列，它对应 \(\vec{a}_1\)，第二行的第一个非零元在第二列，它对应 (\vec{a}_2\)，第三行的第一个非零元在第四列，它对应 (\vec{a}_4\)，所以原向量组的一个极大无关组为

\[ \vec{a}_1=\begin{pmatrix}1\\1\\-2\\4\end{pmatrix},\quad \vec{a}_2=\begin{pmatrix}-2\\-1\\0\\1\end{pmatrix},\quad \vec{a}_4=\begin{pmatrix}5\\5\\1\\1\end{pmatrix} \]

现在我们将 \( \vec{a}_3 , \vec{a}_5\) 用极大无关组表示。因为在行最简矩阵里，第三列与第一、二、四列的关系为

\[\begin{pmatrix}3\\-3\\0\\0\end{pmatrix}=3\begin{pmatrix}1\\0\\0\\0\end{pmatrix}-3 \begin{pmatrix}0\\1\\0\\0\end{pmatrix} \]

所以

\[\vec{a}_3=3\vec{a}_1-3\vec{a}_2,\quad \text{即} \begin{pmatrix}9\\6\\-6\\9\end{pmatrix} =3 \begin{pmatrix}1\\1\\-2\\4\end{pmatrix} -3 \begin{pmatrix}-2\\-1\\0\\1\end{pmatrix} \]

再从行最简矩阵第五列与第一、二、四列的关系

\[\begin{pmatrix}14\\-7\\-2\\0\end{pmatrix}=-7 \begin{pmatrix}0\\1\\0\\0\end{pmatrix} -2 \begin{pmatrix}0\\0\\1\\0\end{pmatrix} \]

知道

\[\vec{a}_5=-7\vec{a}_2-2\vec{a}_4,\quad \text{即} \begin{pmatrix}4\\-3\\-2\\-9\end{pmatrix} =-7 \begin{pmatrix}-2\\-1\\0\\1\end{pmatrix}-2 \begin{pmatrix}5\\5\\1\\1\end{pmatrix} \]

可以验算一下，这两个表示式是正确的。