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有效提高数学成绩的几个方法

学好数学,第一要点是要做足够的习题。只有足够的练习,才能准确、熟练地掌握所学的内容。

这一点,是所有数学老师都会强调,而且每个家长都清楚的一个道理。所以我不打算在这里过多强调这一点。

我们经常碰到有些学生,明明掌握了所学的知识点,但在考试中会出现这样那样的问题,例如,时间不够,简单的计算错误,对一些复杂的式子不知所措等等,这些都极大地影响了最后的学习成绩。

针对这些情况,我们讨论一些平时不太让人注意,但是却很能影响考试成绩的一些方法与技巧。

第一,先化简,再计算。每做一步,化简一步,再进行下一步计算。化简之后,计算会变得更简单,更不容易出错,可以更快并且更准确地得到答案。

例如,分式的乘法运算,要先化简,再做乘法(除法也是用乘法来算)

\[\frac{7}{8}\times\frac{4}{5}=\frac{7}{\cancel{8}2}\times\frac{\cancel{4}}{5}=\frac{7}{10}\]

但是事实上,很多同学是这样做的

\[\frac{7}{8}\times\frac{4}{5}=\frac{28}{40}=\frac{\cancel{4}\times 7}{\cancel{4}\times 10}=\frac{7}{10}\]

至少多了一步。更有甚者,

\begin{align*}\frac{7}{8}\times\frac{4}{5} &=\frac{28}{40}=\frac{\cancel{2}\times 14}{\cancel{2}\times 20}\\ &=\frac{14}{20}=\frac{\cancel{2}\times 7}{\cancel{2}\times 10}\\ &=\frac{7}{10}\end{align*}

这就多了好几步。如果数字再大一点,那就更不得了。当然,这除了不会先简化以外,还涉及到基本的计算能力的问题,这就是我们第二点要讲的方法,平时做题尽量不用计算器。

我们再来看一个化简的问题,解方程

\[\sqrt{x+19}+\sqrt{x-2}=7\]

这样的方程,两个根号,两边直接平方的话,左边会再出现一个根号,而且根号里面是一个二次多项式,然后再平方,计算量就大。那么我们先把其中一个根号放到右边去,

\[\sqrt{x+19}=7-\sqrt{x-2}\]

再平方,

\[x+19=49-14\sqrt{x-2}+x-2\]

合并同类项,将根号放到左边,其余的放到右边(也可以反过来,根号放右边,其余放左边,但这样的话,根号就是负的,多一个东西在那里,我个人是不喜欢的。)

\[14\sqrt{x-2}=49+x-2-x-19,\]

\[14\sqrt{x-2}=28\]

有些同学这里就直接两边平方了,不管是 \(14\) 还是 \(28\) 的平方都是不小的数啊!但事实上,只要两边除以 \(14\),就得到

\[\sqrt{x-2}=2\]再两边平方,多简单,

\[x-2=4,\quad x=6\]

再把答案代入方程,成立。所以方程的解是 \(x=6\)。

这里我们就是,每做一步,化简一步,这样计算量小,速度快,而且不容易出错。

第二,尽量不依赖计算器。北美的学生尤其依赖使用计算器,这使得他们的基本计算技巧特别弱。在碰到一些不准用计算器的考试中,在一些基本的计算上花费太多的时间,从而会造成时间不够或者不能够充分思考的情况下答题。我碰到一些学生,特别是北美本地长大的学生,甚至到了大学,基本的四则运算都不熟练。

第三,简化运算式。这跟之前化简不一样,化简是将一些数字、运算式约掉,但简化是通过一些运算,将复杂的式子变成相对简单的运算式,再对简化后的式子进行运算。

例如,我们对二次多项式进行因式分解

\[\frac{1}{3}x^2-\frac{1}{4}x-\frac{5}{24}\]

这样的二次多项式,即使你很熟悉因式分解,也是很难直接分解出来的。但是如果我们这样做

\[\frac{1}{3}x^2-\frac{1}{4}x-\frac{5}{24}=\frac{1}{24}(8x^2-6x-5)\]

然后对括号里的部分进行分解,就容易多了。利用交叉相乘的方法,很快就可以分解出来

\[\frac{1}{3}x^2-\frac{1}{4}x-\frac{5}{24}=\frac{1}{24}(2x+1)(4x-5)\]

第四,使用分数而不是小数进行运算,使用 \(\pi, e\) 等进行运算,而不是使用 \(3.14, 2.72\) 等进行运算。使用根式而不是用小数进行运算。

同样的一个数,小数的计算量要比分数的计算量大得多。我们看一个例子,这是我前几天跟几个同学讨论问题的碰到的。求二次函数 \[y=x^2+5x+19\] 的顶点。

标准的做法就是配方法,同学是这样做的

\begin{align*}y=x^2+5x+19=(x^2+5x)+19\\&=(x^2+5x+2.5^2)-2.5^2+19\\&=(x-2.5)^2-6.25+19\\ &=(x-2.5)^2+12.75\end{align*}

所以顶点为点 \((2.5,12.75)\)。我当时就说,能够用分数,就不要用小数。你们看,\(2.5\) 的平方,本质上就是 \(25\) 的平方,两位数的平方,但是如果是用 \(\frac{5}{2}\) 的平方,就是两个一位数的平方,是不是简单得多?\(2\) 和 \(5\) 的平方,即使是两个数的平方,也比一个两位数的平方容易计算得多!不信,如果我们换一个数字

\[y=x^2+9x+19\]

那就需要计算 \(4.5\) 的平方,这个数估计一般人心算不出来,得用竖式乘法来算。而 \(\frac{9}{2}\) 的平方,几乎每个人都可以在一秒内算出来 。

一句话,尽量避免小数的运算。能够用分数、根式、\(\pi, e\) 这些进行运算的,就不要使用小数。如果考试要求用小数表示出来,也是在最后一步化成小数。

第五,当解题方式有几种选择时,选取最快,最简便的解题方式。例如,解二次方程时,能够用因式分解就不要用二次根式解的公式。因式分解时,交叉相乘是最快的方式,而不是先将 \(a,c\) 相乘,再分解,再除以 \(a\) 的方式。

我们前面那个解方程的例题,

\[\sqrt{x+19}+\sqrt{x-2}=7\]

我们可以两边同时平方,然后再移项,简化,但是得到的式子却复杂多了,虽然也能解出来 ,但是效率却差了很多!

第六,记住所有重要的公式,而不依赖于公式纸。北美的考试中,大部分都有一张 cheat sheet,也就是公式表。我经常跟学生说,不要去看那张纸,如果依赖于那个公式表来答题,肯定不会有好成绩,因为你效率太低了呀。你有多少时间花在找公式的过程中去了。考试是有时间限制的,你花太多时间在找公式中,那么留给你答题的时间就少了呀。如果你记住了这些公式,你答题时,就不需要去花时间翻公式表。更糟糕的是,有时候你即使你看了公式表,你也不知道该用哪个公式!

当然,记住重要的公式,不是让学生去背这个公式表。这些公式都是通过不断的练习中记住的。我也经常跟学生说,做题时,也不应该去看着公式表来做题。只有当你需要确定你使用的公式是否正确的情况下,才去看公式表。这样记住的公式才记得牢,用得准,算得快。