盘点数学中的“空间”

大学数学之后,会遇到各种各样的“空间”定义。 什么是一个“空间”呢?“空间”就是带有某种结构的集合。

我们列举一些常见的空间。

大学数学之后,会遇到各种各样的“空间”定义,例如,线性空间,拓扑空间,赋范空间,内积空间,希尔伯特空间,巴拿赫空间,索伯列夫空间……

那么什么是一个“空间”呢?其实没有哪个教材对“空间”这一个词有 一个明确的定义。

一般认为,“空间”就是带有某种结构的集合。

我们现在来看看有哪些常见的“空间”。

1,线性空间:线性空间就是在集合上定义了加法和数乘两个运算,并且集合对这两个运算封闭。其中加法满足交换律和结合律,数乘满足结合律与分配律。另外集合中存在零元和幺元。具体的定义可参考任何一本线性代数的书。

线性空间也许是进入大学以后接触到的第一个空间的定义。

2,拓扑空间:在一个集合上定义了一个拓扑结构,这个集合连同这个拓扑结构就被称之为一个拓扑空间。

一个集合上的拓扑是指它的一个子集的集合,满足:集合本身和空集在这个集合中;任何多个元素的并与有限个元素的交都在这个集合中。

这样的集合与它上面的给出的一个拓扑称之为拓扑空间。一个集合可以给出不同的拓扑结构,从而构成不同的拓扑空间。

3,距离空间(度量空间):在集合中定义一个距离或者度量,就构成了一个距离(度量)空间。

集合上的距离满足三个条件:非负性;对称性;三角不等式。

任何一本泛函分析的教材都有距离空间的定义。

4,欧氏空间:我们接触得最多的空间。就是在集合上定义了欧氏距离的距离空间。欧氏距离定义为\[d(x,y)=\sqrt{(x_1-y_1)^2+(x_2-y_2)^2+\cdots+(x_n-y_n)^2}\]

这个空间我们在中学就在用了,我们日常所处的空间就是三维欧氏空间。

5,赋范空间:在集合上定义一个范数,此集合连同上面定义的范数就成为一个赋范空间。由范数可以导出集合上的距离,所以赋范空间也是距离空间。

范数与距离的不同之处在于,我们可以对集合上的一个元素定义范数 \(\|x\|\),它大致上相当于向量的长度。但是对于距离空间,没有这样的定义 \(d(x)\)。距离是针对两个点来定义的,虽然我们也有 \(d(x,x)=0\) 这样的性质。

6,巴拿赫(Banach)空间:巴拿赫空间是完备的赋范空间,所以它本身肯定是一个赋范空间。

所谓完备的,意思就是说若 \(x_n\in X\),及 \(\lim_{n\to \infty}x_n=x\),那么一定有 \(x\in X\)。也就是说,一个巴拿赫空间的收敛点列,其极限也在这个空间中。

7,内积空间:在一个集合上定义一个双线性形式,就形成一个内积空间。所谓的双线性形式,就是对两个元素都是线性的(加法和数乘)。

\[<x+y,z>=<x,z>+<y,z>,\quad <x,y+z>=<x,y>+<x,z>\]

\[<ax,y>=a<x,y>=<x,ay>\]

由内积可以导出集合上的范数,所以内积空间也是赋范空间。

8,希尔伯特(Hilbert)空间:完备的内积空间称为希尔伯特空间。同样,完备的意思就是集合上收敛的点列,它的极限也在这个集合当中。

距离空间,赋范空间,巴拿赫空间,内积空间,希尔伯特空间,这几个空间是泛函数分析的基本研究对象。

9,仿射空间(affine space):仿射空间是一个几何概念。粗略的说法,仿射空间就是没有原点的欧氏空间。在它上面没有距离、长度和角度的概念。但是两点相减可以得到一个向量。

任何一个线性空间是仿射空间。

它的严格定义可以参考仿射几何的教材。

10,射影空间(projective spaces):射影空间是一个把”平行直线相交于无穷远处”的描述进行形式化定义的几何对象。在仿射空间中定义一个“无穷远”的点,就形成了射影空间。

或者另外一个直观的定义是:\(n+1\) 维中的所有一维线性子空间的集合,称为 \(n\) 维射影空间。

11,测度空间:在一个集合上定义一个测度,称形成一个测度空间。一个集合上的测度满足两个条件:空集的测度为 \(0\);不相交的集合的并的测度,等于各个集合的测度之和。

很多实变函数的教材的用的这个定义,但是也有很多教材是从勒贝格外测度开始引入可测和测度。但事实上,勒贝格测度也满足这两个条件。当然除了勒贝格测度以外,还有别的测度。

12,概率空间:现代概率论里,概率空间就是一个全空间测度为 \(1\) 的测度空间。

在概率空间里,任何多个概率空间族的积空间仍然是概率空间。这是与测度空间不同的地方。在测度空间里,只有有限个测度空间的积空间仍然是一个测度空间。

13,\(L^p\) 空间:这是在实变函数里就遇到的空间。若

\[\int_a^b|f(x)|^pdx<\infty\]

我们\([a,b]\) 上满足这个条件的所有可测函数的集合为 \(L^p\) 空间。

\(L^P\) 空间是一个函数空间,也是现代数学里最基本的一个函数空间。

在本科阶段,大致上就是这些空间的定义,有些空间可能有的同学都不会遇到。研究生阶段的空间的定义会更多。当然,还有更多的数学空间的定义,我们就不列出来了。例如,索伯列夫(Sobolev)空间,洛伦兹(Lorentz)空间,豪斯道夫(Hausdorff)空间,哈代(Hardy)空间,等等。这些空间都有自身的空间结构。我们不展开叙述了。

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